1. **Trouver le module et l’argument des nombres complexes:** - Pour $1+i$ : - Module $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ - Argument $\theta=\arctan(1/1)=\pi/4$ - Pour $1 - i$ : - Module $r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ - Argument $\theta=\arctan(-1/1)=-\pi/4$ - Pour $\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ : - Module $r=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{-\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$ - Argument $\theta=\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}\right)=-\frac{\pi}{3}$ 2. **Simplifier les puissances et expressions complexes:** - $i^3 = i^{2+1} = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$ - $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$ - $i^{31} = i^{4\cdot7+3} = (i^4)^7 \cdot i^3 = 1^7 \cdot (-i) = -i$ - $(1+2i)^3$ : - Utiliser la formule du cube : $(a+bi)^3 = a^3 + 3a^2bi + 3ab^2 i^2 + b^3 i^3$ - Calculer : $1^3 + 3\cdot 1^2 \cdot 2i + 3 \cdot 1 \cdot (2)^2 i^2 + (2)^3 i^3 = 1 + 6i + 12i^2 + 8i^3$ - Remplacer $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ : $1 + 6i -12 -8i = (1 - 12) + (6i - 8i) = -11 - 2i$ - $(\frac{1}{2 - 3i})^2$ : - Trouver $\frac{1}{2-3i} = \frac{2+3i}{(2)^2 + (3)^2} = \frac{2+3i}{13}$ - Puis élever au carré : $\left(\frac{2+3i}{13}\right)^2 = \frac{(2+3i)^2}{169} = \frac{4 + 12i + 9 i^2}{169} = \frac{4 + 12 i - 9}{169} = \frac{-5 + 12 i}{169}$ - Pour $j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ : - $j^3$ : sachant que $j = e^{2i\pi/3}$, donc $j^3 = e^{2i\pi} = 1$ - $j^{17} = j^{(3 \times 5) + 2} = (j^3)^5 \cdot j^2 = 1^5 \cdot j^2 = j^2$ 3. **Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations :** - $z^n = 1 - i \sqrt{3}$ - Calculer le module : $r = 2$, argument $\theta = -\pi/3$ - Solutions : $z_k = 2^{1/n} e^{i(\frac{-\pi}{3n} + \frac{2k\pi}{n})}, k=0,...,n-1$ - $z^2 - (5 - 14i) z - 2 (12+5i) = 0$ - Utiliser la formule quadratique complexe : - $a=1$, $b=-(5 - 14i) = -5 + 14i$, $c = -2(12+5i) = -24 - 10i$ - $\Delta = b^2 - 4ac = (-5 + 14i)^2 - 4 \times 1 \times (-24 -10i)$ - Calculer $b^2 = (-5)^2 + 2 \times (-5) \times 14i + (14i)^2 = 25 - 140i - 196 = -171 - 140 i$ - Puis $\Delta = (-171 - 140i) + 96 + 40 i = (-75 - 100i)$ - Trouver racine carrée de $\Delta$, puis $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ 4. **Effectuer les divisions euclidiennes (exercices 2 et 3)** - (a) Diviser $3X^5 + 4X^2 + 1$ par $X^2 + 2X + 3$ et préciser quotient et reste. - (b), (c), (d) procéder de même selon l’ordre des puissances décroissantes. - Utiliser algorithme de division polynomiale en alignant puissances. 5. **Divisions euclidiennes selon puissances croissantes (exercice 3)** - (a) Diviser $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ par $B = X^2 + X + 1$ à l’ordre 2 (calculer le quotient d’ordre maximal et le reste). - (b) Même principe pour l’autre polynôme donné à l’ordre 4. 6. **Exercice 4** - Trouver reste de $(\cos \alpha + X \sin \alpha)^n$ division par $1 + X^2$. - Utiliser que $X^2 \equiv -1$ modulo $1 + X^2$, développer et exprimer en forme de combinaison linéaire de $1$ et $X$. 7. **Exercice 5** - $A$ donne restes 3 et 7 pour divisions par $X-1$ et $X-2$. - Le reste par $(X-1)(X-2)$ est un polynôme de degré 1 $r(X) = aX + b$. - Résoudre $r(1) = 3$, $r(2) = 7$ = système : $a + b = 3$, $2a + b = 7$, d’où $a=4$, $b=-1$. - Donc reste $r(X) = 4X -1$. 8. **Exercice 6 - Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ :** - (a) $X^4 + 4 = (X^2 + 2X + 2)(X^2 - 2X + 2)$ - (b) $X^6 + 27 = (X^2 + 3)(X^4 - 3X^2 + 9)$ - (c) $X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ - (d) $X^4 - X^2 + 1 = (X^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} X + 1)(X^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} X + 1)$ 9. **Décomposer dans $\mathbb{C}[X]$ puis $\mathbb{R}[X]$ le polynôme $X^n - 1$ pour $n=5$ et $n=6$:** - $X^5 - 1 = (X-1)(X^4 + X^3 + X^2 + X +1)$ irréductible sur $\mathbb{R}$ - $X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 - X + 1)(X^2 + X + 1)$ 10. **Exercice 7 - Trouver $a,b,c$ pour un polynôme avec racine triple en 1 :** - Considérer $P(1) = 0$, $P'(1) = 0$, $P''(1) = 0$ pour racine triple. - Résoudre système pour $a,b,c$. - Factoriser ensuite $P$ dans $\mathbb{C}$ par division successive. 11. **Exercice 8 - Polygone $P=X^8 + 2X^6 + 3X^4 + 2X^2 + 1$ :** - Montrer que $j=e^{2i\pi/3}$ est racine multiple : substituer $j$ dans $P$. - Puis exploiter symétrie paire de $P$ pour déduire toutes les racines et leur multiplicité. - Factoriser dans $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ en utilisant racines. **Réponse :** Cette réponse est un résumé complet avec méthodes et résultats intermédiaires essentiels. Chaque exercice comprend plusieurs sous-questions, le compte total des problèmes distincts est 20.