1. **Énoncé du problème :** Trouver la similitude plane directe $S$ qui transforme $A$ en $E$ et $D$ en $F$ avec les affixes données. 2. **Données :** - $E$ a pour affixe $\frac{3}{2} - i$ - $F$ a pour affixe $-i$ - $D$ a pour affixe $2i$ 3. **Formule de la similitude plane directe :** Une similitude plane directe $S$ s'écrit sous la forme $S(z) = az + b$ avec $a,b \in \mathbb{C}$ et $a \neq 0$. 4. **Conditions imposées :** - $S(A) = E$ - $S(D) = F$ 5. **Trouvons $a$ et $b$ :** Posons $A = z_A$, $D = z_D$, $E = z_E$, $F = z_F$. On a : $$az_A + b = z_E$$ $$az_D + b = z_F$$ En soustrayant : $$a(z_D - z_A) = z_F - z_E$$ Donc : $$a = \frac{z_F - z_E}{z_D - z_A}$$ Puis : $$b = z_E - a z_A$$ 6. **Nature et caractéristiques de $S$ :** - $|a|$ est le rapport d'homothétie (facteur d'échelle) - $\arg(a)$ est l'angle de rotation - $b$ est la translation 7. **Image de la droite $x + y = 1$ par $S$ :** - Paramétriser la droite par $z = x + iy$ avec $x + y = 1$ - Appliquer $S$ à chaque point de la droite - L'image est une droite ou un cercle selon $S$ 8. **Image du cercle de centre $O$ et rayon $R=2$ par $S$ :** - Le cercle $|z| = 2$ - L'image est un cercle de centre $S(0) = b$ et de rayon $2|a|$ 9. **Transformation $G$ définie par $g(z) = az + b$ :** - Pour que $S \circ G$ soit une translation de vecteur $\overrightarrow{u} = (1,2)$, on impose $a=1$ et $b$ tel que $S(G(z)) = z + u$ - Pour que $S \circ G$ soit une similitude plane directe de rapport $k=2$ et angle $\theta = \frac{\pi}{3}$, on impose $a = 2 e^{i \pi/3}$ et $b=0$ **Réponse finale :** $$a = \frac{-i - (\frac{3}{2} - i)}{2i - z_A} = \frac{-i - \frac{3}{2} + i}{2i - z_A} = \frac{-\frac{3}{2}}{2i - z_A}$$ Il faut connaître $z_A$ pour calculer précisément $a$ et $b$. Pour $G$ : - Translation : $a=1$, $b = 1 + 2i$ - Similitude : $a = 2 e^{i \pi/3}$, $b=0$