1. On commence par rappeler que $\omega = \exp\left(\frac{2i\pi}{n}\right)$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité, donc $\omega^n=1$ et les $\omega^k$ pour $k=0,\dots,n-1$ sont les $n$ racines de l'unité. 2. Pour $z \in \mathbb{C}$, et $z \neq 1$, on étudie le produit $$\prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega^k).$$ 3. On utilise la factorisation du polynôme $z^n - 1$ qui s'écrit $$z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega^k).$$ 4. En réarrangeant, on obtient $$\prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega^k) = z^n - 1.$$ 5. Le polynôme $1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}$ est la somme géométrique qui satisfait $$1 + z + \dots + z^{n-1} = \frac{z^n - 1}{z - 1}$$ quand $z \neq 1$. 6. On en déduit donc $$\prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega^k) = z^n - 1 = (z - 1) \sum_{k=0}^{n-1} z^k,$$ qui est équivalent à $$\frac{\prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega^k)}{z - 1} = \sum_{k=0}^{n-1} z^k.$$ 7. En remarquant que $\prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega^k) = (z - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (z - \omega^k)$, on obtient la formule demandée: $$\prod_{k=1}^{n-1} (z - \omega^k) = \sum_{k=0}^{n-1} z^k.$$ --- 8. Pour déduire $$\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}},$$ on pose $z = 1$ et on considère la valeur absolue de $$\prod_{k=1}^{n-1} (1 - \omega^k) = \left| \sum_{k=0}^{n-1} 1^k \right| = n,$$ car $\sum_{k=0}^{n-1} 1 = n$. 9. Comme $$|1 - \omega^k| = 2 \left| \sin \left(\frac{k\pi}{n}\right) \right|,$$ on a $$\prod_{k=1}^{n-1} |1 - \omega^k| = \prod_{k=1}^{n-1} 2 \sin \left(\frac{k\pi}{n}\right) = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left( \frac{k\pi}{n} \right).$$ 10. En égalant avec la valeur absolue du produit obtenue, on a $$2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left( \frac{k\pi}{n} \right) = n,$$ d'où le résultat $$\prod_{k=1}^{n-1} \sin \left( \frac{k\pi}{n} \right) = \frac{n}{2^{n-1}}.$$ --- 11. Soit $a$ un complexe de module $1$ et $z_1, \dots, z_n$ les racines de l'équation $$z^n = a.$$ Alors chaque $z_k$ s'écrit $$z_k = \rho \omega^k$$ avec $\rho$ une racine quelconque $n$-ième de $a$, c'est-à-dire $|\rho|=1$. 12. On considère alors les points d’affixe $(1+z_k)^n$. 13. On a $$(1+z_k)^n = \left(1 + \rho \omega^k \right)^n.$$ 14. En factorisant, $$\left(1 + \rho \omega^k \right)^n = \left( \rho \left( \rho^{-1} + \omega^k \right) \right)^n = \rho^n \left( \rho^{-1} + \omega^k \right)^n = a \left( \rho^{-1} + \omega^k \right)^n.$$ 15. Les points $\left( \rho^{-1} + \omega^k \right)^n$ sont tous noyés dans $\mathbb{C}$ sous une transformation de puissance $n$. 16. Par la propriété des racines de l'unité, la différence entre ces points est proportionnelle à $\omega^k - \omega^{k'}$ multiplié par une constante. 17. Cela implique que les images sous $z \mapsto (1 + z)^n$ des racines $z_k$ de $z^n=a$ sont alignées, car elles appartiennent à un sous-espace affine de dimension $1$. --- **Réponses:** 1. $$\prod_{k=1}^{n-1} (z - \omega^k) = \sum_{k=0}^{n-1} z^k.$$ 2. $$\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}.$$ 3. Les points d'affixes $(1 + z_1)^n, \dots, (1 + z_n)^n$ sont alignés dans le plan complexe.