1. Énoncé du problème : Soit $z = a + ib$ un nombre complexe et $Z = \frac{7 + z}{-3 + iz}$. On cherche la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$. Ensuite, on détermine l'équation du lieu des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pur avec $z \neq -3i$. 2. Formule utilisée : Pour un nombre complexe $w = x + iy$, la partie réelle est $\operatorname{Re}(w) = x$ et la partie imaginaire est $\operatorname{Im}(w) = y$. 3. Calcul de $Z$ : $$Z = \frac{7 + z}{-3 + iz} = \frac{7 + a + ib}{-3 + i(a + ib)} = \frac{7 + a + ib}{-3 + ia - b}$$ 4. Simplifions le dénominateur : $$-3 + ia - b = (-3 - b) + ia$$ 5. Pour simplifier la fraction, multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$Z = \frac{(7 + a + ib)((-3 - b) - ia)}{((-3 - b) + ia)((-3 - b) - ia)}$$ 6. Calcul du dénominateur : $$((-3 - b) + ia)((-3 - b) - ia) = (-3 - b)^2 + a^2$$ 7. Calcul du numérateur : $$ (7 + a + ib)((-3 - b) - ia) = (7 + a)(-3 - b) - i a (7 + a) + i b (-3 - b) + b a $$ Développons en séparant parties réelles et imaginaires : - Partie réelle : $(7 + a)(-3 - b) + a b$ - Partie imaginaire : $b(-3 - b) - a(7 + a)$ 8. Donc : $$Z = \frac{(7 + a)(-3 - b) + a b}{(-3 - b)^2 + a^2} + i \frac{b(-3 - b) - a(7 + a)}{(-3 - b)^2 + a^2}$$ 9. Partie réelle de $Z$ : $$\operatorname{Re}(Z) = \frac{(7 + a)(-3 - b) + a b}{(-3 - b)^2 + a^2}$$ 10. Partie imaginaire de $Z$ : $$\operatorname{Im}(Z) = \frac{b(-3 - b) - a(7 + a)}{(-3 - b)^2 + a^2}$$ 11. Condition pour que $Z$ soit imaginaire pur : $$\operatorname{Re}(Z) = 0$$ 12. Équation du lieu : $$ (7 + a)(-3 - b) + a b = 0 $$ 13. Développons : $$ -21 - 7b - 3a - a b + a b = -21 - 7b - 3a = 0 $$ 14. Simplification : $$ -21 - 7b - 3a = 0 \implies 3a + 7b + 21 = 0 $$ 15. Conclusion : L'équation du lieu des points $M$ d'affixe $z = a + ib$ tels que $Z$ soit imaginaire pur (avec $z \neq -3i$) est $$3a + 7b + 21 = 0$$