1. Énoncé du problème : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $$\left(\frac{z - 2i}{z + i}\right)^3 + \left(\frac{z - 2i}{z + i}\right)^2 + \frac{z - 2i}{z + i} + 1 = 0.$$ 2. Posons $$w = \frac{z - 2i}{z + i}.$$ L'équation devient $$w^3 + w^2 + w + 1 = 0.$$ 3. Factorisons le polynôme en $w$ : $$w^3 + w^2 + w + 1 = (w + 1)(w^2 + 1) = 0.$$ 4. Les racines sont donc $$w = -1, \quad w = i, \quad w = -i.$$ 5. Pour chaque racine, retrouvons $z$ : - Pour $w = -1$ : $$\frac{z - 2i}{z + i} = -1 \Rightarrow z - 2i = - (z + i) \Rightarrow z - 2i = -z - i \Rightarrow 2z = i \Rightarrow z = \frac{i}{2}.$$ - Pour $w = i$ : $$\frac{z - 2i}{z + i} = i \Rightarrow z - 2i = i(z + i) = iz + i^2 = iz - 1.$$ Regroupons : $$z - iz = 2i - 1 \Rightarrow z(1 - i) = 2i - 1 \Rightarrow z = \frac{2i - 1}{1 - i}.$$ Multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué $1 + i$ : $$z = \frac{(2i - 1)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2i + 2i^2 - 1 - i}{1 + 1} = \frac{2i - 2 - 1 - i}{2} = \frac{i - 3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{i}{2}.$$ - Pour $w = -i$ : $$\frac{z - 2i}{z + i} = -i \Rightarrow z - 2i = -i(z + i) = -iz - i^2 = -iz + 1.$$ Regroupons : $$z + iz = 2i + 1 \Rightarrow z(1 + i) = 2i + 1 \Rightarrow z = \frac{2i + 1}{1 + i}.$$ Multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué $1 - i$ : $$z = \frac{(2i + 1)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2i - 2i^2 + 1 - i}{1 + 1} = \frac{2i + 2 + 1 - i}{2} = \frac{i + 3}{2} = \frac{3}{2} + \frac{i}{2}.$$ 6. Vérification des parties réelles : - $z_A = \frac{i}{2}$ a $\operatorname{Re}(z_A) = 0$. - $z_B = -\frac{3}{2} + \frac{i}{2}$ a $\operatorname{Re}(z_B) = -\frac{3}{2} < 0$. - $z_C = \frac{3}{2} + \frac{i}{2}$ a $\operatorname{Re}(z_C) = \frac{3}{2} > 0$. 7. Placement des points dans le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ : - $A(0, \frac{1}{2})$, - $B(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, - $C(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$. 8. Ces trois points ont la même ordonnée $y = \frac{1}{2}$, donc ils sont alignés horizontalement. 9. Un cercle passant par trois points alignés n'existe pas (le cercle serait de rayon infini). **Réponse finale :** $$z_A = \frac{i}{2}, \quad z_B = -\frac{3}{2} + \frac{i}{2}, \quad z_C = \frac{3}{2} + \frac{i}{2}.$$ Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés sur la droite $y = \frac{1}{2}$ et n'appartiennent pas à un même cercle.