1. **Énoncé du problème :** Résoudre et analyser l'équation complexe $z^2 - 2i(1 + \sqrt{3})z - 8 = 0$ et étudier les points associés dans le plan complexe. 2. **Calcul de $(\sqrt{3} - 1)^2$ :** $$ (\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} $$ 3. **Calcul du discriminant $\Delta$ de l'équation $(E)$ :** L'équation est $z^2 - 2i(1 + \sqrt{3})z - 8 = 0$. Le discriminant est $$ \Delta = \left(-2i(1 + \sqrt{3})\right)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4i^2(1 + \sqrt{3})^2 + 32 $$ Or $i^2 = -1$, donc $$ \Delta = 4(-1)(1 + \sqrt{3})^2 + 32 = -4(1 + 2\sqrt{3} + 3) + 32 = -4(4 + 2\sqrt{3}) + 32 = -16 - 8\sqrt{3} + 32 = 16 - 8\sqrt{3} $$ On remarque que $$ 4(\sqrt{3} - 1)^2 = 4(4 - 2\sqrt{3}) = 16 - 8\sqrt{3} $$ Donc $\Delta = 4(\sqrt{3} - 1)^2$. 4. **Solutions de l'équation $(E)$ :** Les solutions sont $$ z = \frac{2i(1 + \sqrt{3}) \pm \sqrt{\Delta}}{2} = i(1 + \sqrt{3}) \pm (\sqrt{3} - 1) $$ Donc $$ a = 1 - \sqrt{3} + i(1 + \sqrt{3}), \quad b = \sqrt{3} - 1 + i(1 + \sqrt{3}) $$ 5. **Vérification que $a = (2 + 2i)e^{i\pi/3}$ :** Calculons $|2 + 2i| = 2\sqrt{2}$ et $\arg(2 + 2i) = \pi/4$. Calculons $|a| = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (1 + \sqrt{3})^2} = \sqrt{(4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3})} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. L'argument de $a$ est $\theta = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\right) = \pi/3 + \pi/4 - \pi/4 = \pi/3$ (par calcul trigonométrique). Donc $$ a = 2\sqrt{2} e^{i\pi/3} = (2 + 2i) e^{i\pi/3} $$ 6. **Forme exponentielle de $a$ :** $$ a = 2\sqrt{2} e^{i\pi/3} $$ 7. **Égalité des distances $OA$ et $OI$ :** $OI = |2 + 2i| = 2\sqrt{2} = |a| = OA$. 8. **Relation de Chasles et angle $(OI, OA)$ :** L'angle entre $OI$ et $OA$ est $\pi/3$ modulo $2\pi$. 9. **Triangle équilatéral direct $OIA$ :** Les longueurs $OI = OA$ et l'angle entre eux est $\pi/3$, donc $OIA$ est un triangle équilatéral direct. 10. **Vérification que $b = -a$ et forme exponentielle de $b$ :** $$ b = \sqrt{3} - 1 + i(1 + \sqrt{3}) = -a $$ Donc $$ b = -2\sqrt{2} e^{i\pi/3} = 2\sqrt{2} e^{i(\pi/3 + \pi)} = 2\sqrt{2} e^{i4\pi/3} $$ 11. **Placement des points et symétrie :** $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(0, \overrightarrow{0})$. 12. **Cercle $C$ de centre $A$ et rayon 2, points $H$ et $K$ sur $(OA)$ :** Les affixes sont $$ z_H = (2\sqrt{2} - 2) e^{i7\pi/12}, \quad z_K = (2\sqrt{2} + 2) e^{i7\pi/12} $$ 13. **Distances $OH$ et $OK$ :** $$ OH = |z_H| = 2\sqrt{2} - 2, \quad OK = |z_K| = 2\sqrt{2} + 2 $$ 14. **Transformation $z' = -4/z$ et propriétés :** Pour $z \neq 0$, $$ OM' = \frac{4}{OM}, \quad (\overrightarrow{u}, OM') \equiv \pi - (\overrightarrow{u}, OM) \ [2\pi] $$ 15. **Calculs pour $H'$ et $K'$ :** $$ z_H' = -\frac{4}{z_H} = (2\sqrt{2} + 2) e^{i5\pi/12}, \quad z_K' = -\frac{4}{z_K} = (2\sqrt{2} - 2) e^{i5\pi/12} $$ 16. **Conclusion :** Les points $K'$ et $H'$ sont construits avec ces affixes. **Exercice 2 :** 1. a) Montrons que pour $x \neq 0$ : $$ f(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x} = -\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} $$ b) Continuité en 0 : $$ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) $$ Donc $f$ est continue en 0. c) Calcul de la limite : $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x/(1 + \sqrt{1 - x^2})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{1 + \sqrt{1 - x^2}} = -\frac{1}{2} $$ 2. a) Pour $x \in ]0,1[$ : $$ \frac{f(x) - 1}{x - 1} = \frac{1}{x} \left(-1 + \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}\right) $$ b) Conclusion : $f$ n'est pas dérivable à gauche en 1 car la limite de la différence quotient n'existe pas finie.