1. **Démontrer que le triangle ABC est rectangle isocèle** Problème non explicitement détaillé ici, mais rappel : un triangle est rectangle isocèle si et seulement si il a un angle droit et deux côtés égaux. 2. **Vérifier si M appartient au cercle de centre I passant par A** - Données : $$z_A = -1.8 + 1.3i$$ $$z_I = 1.8 - 3.5i$$ $$z_M = 5.4 + 1.3i$$ - Calcul du rayon du cercle (distance IA) : $$IA = |z_I - z_A| = \sqrt{(1.8 +1.8)^2 + (-3.5 -1.3)^2} = \sqrt{3.6^2 + (-4.8)^2} = \sqrt{12.96 + 23.04} = \sqrt{36} = 6$$ - Vérifier si M est sur ce cercle (distance IM = rayon ?) : $$IM = |z_M - z_I| = |(5.4 - 1.8) + (1.3 + 3.5)i| = |3.6 + 4.8i| = \sqrt{3.6^2 + 4.8^2} = \sqrt{12.96 + 23.04} = \sqrt{36} = 6$$ - Conclusion : Comme $IM = IA$, M appartient au cercle centré en I passant par A. 3. **Montrer que $|z+z'|^2 + |z - z'|^2 = 2|z|^2 + 2|z'|^2$** Soient $z = x + yi$ et $z' = x' + y'i$. - Développons : $$|z+z'|^2 = (x + x')^2 + (y + y')^2$$ $$|z-z'|^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2$$ - Addition : $$|z+z'|^2 + |z - z'|^2 = (x + x')^2 + (y + y')^2 + (x - x')^2 + (y - y')^2$$ - En développant : $$(x^2 + 2xx' + x'^2) + (y^2 + 2yy' + y'^2) + (x^2 - 2xx' + x'^2) + (y^2 - 2yy' + y'^2)$$ - Simplifiant : $$2x^2 + 2x'^2 + 2y^2 + 2y'^2 = 2(x^2 + y^2) + 2(x'^2 + y'^2) = 2|z|^2 + 2|z'|^2$$ 4. **Déduire que dans un parallélogramme ABCD, $AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$** - Soit $AB = z$, $BC = z'$, alors $AC = z + z'$ et $BD = z - z'$ - Appliquant la formule démontrée : $$|AC|^2 + |BD|^2 = |z+z'|^2 + |z - z'|^2 = 2|z|^2 + 2|z'|^2$$ - Or les côtés valent $AB = |z|$, $BC = |z'|$, $CD = |z|$, $DA = |z'|$ - Ainsi, $$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = |z|^2 + |z'|^2 + |z|^2 + |z'|^2 = 2|z|^2 + 2|z'|^2$$ - D'où le résultat. 5. **Déterminer les ensembles de points M(z) satisfaisant les conditions** (a) $|z - 2 - 5i| = 3$ : Cercle de centre $(2,5)$ et de rayon 3. (b) $|z - 2 - 5i| = |z + 3i|$ : L’ensemble des points équidistants des points $(2,5)$ et $(0,-3)$ est la médiatrice de ce segment, donc une droite. 6. **Autres ensembles** (a) $|z| = \sqrt{2}$ : Cercle de centre l'origine et rayon $\sqrt{2}$. (b) $|z + 2 - i| = 4$ : Cercle de centre $(-2,1)$ et rayon 4. (c) $|z - 3 + i| = |z + 5 - 2i|$ : Points équidistants entre $(3,-1)$ et $(-5,2)$ donc médiatrice de ce segment. (d) $|\frac{z+1}{z + 2i}| = 1$ : Équivalent à $|z + 1| = |z + 2i|$, les points ont la même distance à $(-1,0)$ et $(0,-2)$ donc médiatrice. 7. **Ensemble de points M(z) tels que $|(1+i)z - 2i| = 2$** - Posons $w = (1+i)z - 2i$ - $|w| = 2$ est cercle de centre $0$ en $w$-plan de rayon 2. - $z$ appartient donc à l’image inverse par homothétie et rotation de centre $0$ et rapport $|1+i| = \sqrt{2}$ : $$|(1+i)z - 2i| = 2 \iff |z - \frac{2i}{1+i}| = \frac{2}{|1+i|} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$ - Calcul de $\frac{2i}{1+i}$: $$\frac{2i}{1+i} = \frac{2i (1 - i)}{(1+i)(1 - i)} = \frac{2i - 2i^2}{1 - i^2} = \frac{2i + 2}{1 + 1} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$$ - Conclusion : Ensemble est le cercle de centre $(1,i)$ et rayon $\sqrt{2}$.