1. Exercice 4 : Montrer que la transformation $T:z \mapsto z' = 2iz + 2 + i$ admet un point invariant $A$ d'affixe $a$. On cherche $a$ tel que $a' = a$, donc $$a = 2ia + 2 + i.$$ 2. Résolvons pour $a$ : $$a - 2ia = 2 + i \implies a(1 - 2i) = 2 + i.$$ 3. Calcul de $a$ : $$a = \frac{2 + i}{1 - 2i} = \frac{(2 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 + 4i + i + 2i^2}{1 + 4} = \frac{2 + 5i - 2}{5} = \frac{5i}{5} = i.$$ Donc $a = i$ est un point invariant. 4. Exprimer $z' - a$ : $$z' - a = 2iz + 2 + i - i = 2iz + 2 = 2i(z - (-i)).$$ 5. Conclusion : La transformation est une similitude composée d'une rotation de centre $a=i$ et d'un vecteur de translation nul (car $a$ est invariant), donc $T$ est une rotation autour de $i$ suivie d'une translation nulle, donc une rotation centrée en $A$. Exercice 5 : 1. $A$ a pour affixe $i$, $B$ pour affixe $-2$, le milieu $I$ de $[AB]$ a pour affixe $$I = \frac{i + (-2)}{2} = \frac{-2 + i}{2} = -1 + \frac{i}{2}.$$ Calcul de $I'$ : $$z' = \frac{z+2}{z - i} \Rightarrow I' = \frac{I + 2}{I - i} = \frac{-1 + \frac{i}{2} + 2}{-1 + \frac{i}{2} - i} = \frac{1 + \frac{i}{2}}{-1 - \frac{i}{2}}.$$ Multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$I' = \frac{(1 + \frac{i}{2})(-1 + \frac{i}{2})}{(-1 - \frac{i}{2})(-1 + \frac{i}{2})}.$$ Calcul du numérateur : $$ (1)(-1) + (1)(\frac{i}{2}) + \left(\frac{i}{2}\right)(-1) + \left(\frac{i}{2}\right) \left(\frac{i}{2}\right) = -1 + \frac{i}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{4} = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}.$$ Calcul du dénominateur : $$ (-1)^2 - \left(\frac{i}{2}\right)^2 = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}.$$ Donc $$I' = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}} = -1.$$ 2a) Avec $z = x + iy$, on calcule $$z' = \frac{z + 2}{z - i} = \frac{x + iy + 2}{x + iy - i} = \frac{x + 2 + iy}{x + i(y - 1)}.$$ Multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$z' = \frac{(x + 2 + iy)(x - i(y - 1))}{x^2 + (y - 1)^2}.$$ Développons le numérateur : $$ (x + 2)(x) - (x + 2)i(y - 1) + iyx - i^2 y(y - 1).$$ Simplifions étape par étape : - Partie réelle : $$ (x + 2)x + y(y - 1) = x^2 + 2x + y^2 - y.$$ - Partie imaginaire : $$ yx - (x + 2)(y -1) = yx - (xy - x + 2y - 2) = yx - xy + x - 2y + 2 = x - 2y + 2.$$ Donc $$z' = \frac{x^2 + 2x + y^2 - y}{x^2 + (y - 1)^2} + i \frac{x - 2y + 2}{x^2 + (y - 1)^2}.$$ Soit $$x' = \frac{x^2 + 2x + y^2 - y}{x^2 + (y - 1)^2}, \quad y' = \frac{x - 2y + 2}{x^2 + (y - 1)^2}.$$ 2b) $z'$ est réel si et seulement si $y' = 0$, donc $$x - 2y + 2 = 0.$$ L'ensemble $E$ est donc la droite d'équation $$x - 2y + 2 = 0.$$ 2c) L'argument de $z' = (z + 2)/(z - i)$ est $$\arg(z') = \arg(z + 2) - \arg(z - i).$$ Si $z' \in \mathbb{R}$ alors $$\arg(z') = 0 \text{ ou } \pi,$$ ce qui signifie que $z + 2$ et $z - i$ sont colinéaires avec origine $0$, donc les points d'affixes $z$, $i$ (A), et $-2$ (B) sont alignés. Exercice 6 : 1. Montrons que $$z' = \frac{2z - 3}{2z - 1} = 2 - \frac{1}{z - 1}.$$ Calcul : $$2 - \frac{1}{z - 1} = \frac{2(z - 1) - 1}{z - 1} = \frac{2z - 2 - 1}{z -1} = \frac{2z - 3}{z -1}.$$ Or $z' = \frac{2z - 3}{2z -1}$, donc pour égalité il faut $$\frac{2z -3}{2z -1} = \frac{2z -3}{z -1} \implies (2z -3)(z -1) = (2z -3)(2z -1),$$ ce qui n'est vrai en général que si $z -1 = 2z -1$, soit $z=0$, donc il faut corriger l'expression initiale. Reprenons : Écrivons $$2 - \frac{1}{z - 1} = \frac{2(z -1) -1}{z -1} = \frac{2z -2 -1}{z -1} = \frac{2z -3}{z -1}.$$ Cela n'est pas égal à $\frac{2z -3}{2z -1}$. Cela implique que l'égalité ne tient pas en général. Il y a possiblement une erreur dans l'énoncé. Supposons que l'expression à montrer soit en fait $$z' = \frac{2z - 3}{2z - 1} = 2 - \frac{1}{z - 1}$$ ou que la deuxième fraction soit incorrecte. Mais puisque la question demande de montrer cela, supposons la correction et vérifions. Multiplions: $$\text{Si } z' = 2 - \frac{1}{z -1}, \quad \text{alors } z' = \frac{2z -3}{z -1}.$$ Comparons avec $\frac{2z -3}{2z -1}$ : pas identique. La première réponse est que $\boxed{z' = 2 - \frac{1}{z - 1}}$ n'est pas égal à $\frac{2z -3}{2z -1}$. 2. On décompose $z'$ en transformations : - $z_1 = z - 1$, translation de vecteur 1 - $z_2 = \frac{1}{z_1}$, inversion - $z_3 = -z_2$, symétrie centrale - $z' = 2 + z_3$, translation de vecteur 2 Ainsi, $T$ est la composée d'une translation, une inversion, une symétrie centrale puis une translation. 3. Pour tracer $M'$ image de $M$, on applique les étapes ci-dessus graphiquement : translation, inversion, symétrie centrale, translation. Exercice 7 : 1. Étudier les variations de $$h(\omega) = \frac{1}{R} \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)$$ Dérivons : $$h'(\omega) = \frac{1}{R} \left(L + \frac{1}{C\omega^2} \right) > 0$$ car $L, C, R, \omega > 0$. Donc $h$ est strictement croissante. Trouvons $\omega$ annulant $h$ : $$h(\omega) = 0 \implies L\omega - \frac{1}{C\omega} = 0 \implies L\omega^2 = \frac{1}{C} \implies \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$ 2a) L'ensemble $\Delta$ des points d'affixe $$1 + j h(\omega), \quad \omega >0,$$ est la droite verticale passant par 1 sur l'axe réel et parcourant les valeurs imaginaires $h(\omega)$. 2b) L'ensemble $\Gamma$ est l'ensemble des points d'affixe $$\frac{1}{1 + j h(\omega)}.$$ Ceci est l'image par inversion complexe (et conjugaison) de $\Delta$, donc $\Gamma$ est un cercle centré sur l'axe réel. 2c) L'ensemble $(E)$ des points $T(\omega) = \frac{K}{R + j h(\omega)} = \frac{K}{R(1 + j h(\omega))}$ est une homothétie de centre $0$ et rapport $\frac{|K|}{R}$ de $\Gamma$, donc $(E)$ est un cercle. 2d) Avec $L=0.05$, $C=20$, $R=50$, $K=220 e^{i \alpha}$, on peut tracer $(E)$, mettons pour $\alpha=0$ en mettant en couleurs la partie correspondant aux fréquences $f= \frac{\omega}{2\pi} \in [50, 100]$ Hz. Exercice 8 : Étude des suites 1. $$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}.$$ Après décalage, c'est somme des inverses sur une plage $[n+1, 2n]$, voisinant la somme harmonique. La suite $u_n$ est croissante et convergente vers $\ln 2$. 2. $$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{2^k}{k!}.$$ C'est la somme partielle de la série exponentielle de $e^2 -1$, donc $u_n \to e^2 -1$. 3. $$u_n = \frac{1}{\sin a + \sin a^2 + \cdots + \sin a^n},$$ avec $0 < a <1$. Chaque terme $\sin a^k$ tend vers 0 très vite, la somme converge, donc $u_n$ tend vers une constante strictement positive.