1. **Déterminer les solutions complexes de :** **a) Résoudre $z^3 + i = 0$** 1. Écrire l'équation sous la forme $z^3 = -i$. 2. Exprimer $-i$ en forme trigonométrique : $-i = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$. 3. Les racines cubiques de $-i$ sont données par : $$z_k = \sqrt[3]{1} \left[\cos\left(\frac{-\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{-\pi/2 + 2k\pi}{3}\right)\right], \quad k=0,1,2$$ 4. Calculons chaque racine : - Pour $k=0$ : $$z_0 = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$$ - Pour $k=1$ : $$z_1 = \cos\left(\frac{3\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = 0 + i$$ - Pour $k=2$ : $$z_2 = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$$ **Réponse :** $$z_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}, \quad z_1 = i, \quad z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$$ **b) Résoudre $z^4 = 1$** 1. Écrire $1$ en forme trigonométrique : $$1 = \cos(0) + i\sin(0)$$ 2. Les racines quatrièmes de $1$ sont : $$z_k = \cos\left(\frac{2k\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{2k\pi}{4}\right), \quad k=0,1,2,3$$ 3. Calculons chaque racine : - $k=0$: $z_0 = 1$ - $k=1$: $z_1 = i$ - $k=2$: $z_2 = -1$ - $k=3$: $z_3 = -i$ **Réponse :** $$z_0=1, \quad z_1=i, \quad z_2=-1, \quad z_3=-i$$