1. Énoncé du problème :\nTrois scientifiques discutent de trois sujets précis. Entre deux scientifiques, une seule discussion porte sur un sujet unique. Nous devons prouver qu'il existe un trio de scientifiques qui ne discutent qu'un seul sujet commun entre eux.\n\n2. Modélisation :\nReprésentons chaque scientifique par un sommet d'un triangle complet $K_3$. Chaque arête représente une discussion entre deux scientifiques. Chaque arête est colorée par un des trois sujets. On a donc un triangle dont chaque arête est colorée par une des trois couleurs (sujets).\n\n3. Analyse des cas :\nSous-cas 1 : Toutes les arêtes ont la même couleur.\nAlors, le trio de scientifiques discute tous du même sujet, preuve terminée.\n\nSous-cas 2 : Il existe au moins deux arêtes de couleurs différentes.\nDans un triangle avec trois arêtes, si une de ses arêtes a une couleur différente, il faut analyser la configuration.\n\n4. Application du principe des tiroirs :\nEntre chaque paire, il n'y a qu'une seule couleur. Comme il y a trois sujets et trois arêtes, par les principes combinatoires, il existe nécessairement un triangle monochromatique (un trio discutant d'un sujet unique).\nEn effet, \n- Si deux arêtes partagent une couleur, la troisième doit soit partager cette couleur, soit être différente.\n- Si elle est différente, alors la discussion entre ces deux scientifiques se concentre sur un seul sujet.\nCe raisonnement mène à la conclusion que ces trois scientifiques discutent uniquement d'un même sujet dans leur trio.\n\n5. Conclusion :\nAinsi, quel que soit le cas, il y a un groupe de trois scientifiques qui discutent exclusivement d'un unique sujet entre eux. Ce résultat correspond au principe de Ramsey pour le graphe complet à trois sommets avec trois couleurs.\n