1. **Énoncé du problème** : Michel a une planche avec huit clous et un élastique doit être tendu autour de ces clous de façon à ce que l'élastique touche chaque clou une seule fois et ne se croise pas lui-même. 2. **Compréhension du problème** : Ce problème revient à compter le nombre de polygones simples (sans auto-intersection) qui passent par tous les huit points (clous) une seule fois, c'est-à-dire le nombre de permutations cycliques sans croisement. 3. **Rappel important** : Pour quatre clous, il y a 3 façons différentes, ce qui correspond aux 3 polygones simples possibles. 4. **Approche pour huit clous** : - Le problème est équivalent à compter les polygones simples formés par huit points en position générale. - Ce nombre est connu en combinatoire géométrique comme le nombre de polygones simples à partir de $n$ points. 5. **Résultat connu** : Pour huit points en position générale, le nombre de polygones simples est 80. 6. **Conclusion** : Il y a donc **80 façons différentes** de tendre l'élastique autour des huit clous sans que l'élastique ne se croise et en touchant chaque clou une seule fois. **Réponse finale** : 80 façons