1. Problema 67: Quantas maneiras se podem plantar três macieiras e duas pereiras em cinco buracos em fila, com as pereiras juntas? - Temos 5 buracos em fila e 5 árvores distintas: 3 macieiras (M) e 2 pereiras (P). - As duas pereiras devem ficar juntas, então consideramos o par de pereiras como um único bloco. - Assim, temos 4 "elementos" para arranjar: o bloco PP e as 3 macieiras. - O número de maneiras de arranjar esses 4 elementos é $4!$. - Dentro do bloco PP, as 2 pereiras podem ser permutadas de $2!$ maneiras. - As 3 macieiras são distintas e podem ser arranjadas de $3!$ maneiras. - Portanto, o total de arranjos é $$4! \times 3! \times 2!$$ 2. Problema 68: Quantas maneiras diferentes quatro pessoas podem se dispor em fila em 9 lugares disponíveis? - Temos 9 lugares e 4 pessoas distintas. - O número de arranjos de 4 pessoas em 9 lugares é uma permutação de 9 elementos tomados 4 a 4. - Fórmula: $$P(9,4) = \frac{9!}{(9-4)!} = 9A_4$$ 3. Problema 69: Quantos números se podem formar retirando 5 bolas numeradas de 1 a 6, em ordem, formando um número? - As bolas são numeradas de 1 a 6, e retiramos 5 em sequência, formando um número de 5 algarismos. - Como a ordem importa e as bolas são distintas, o número de números formados é uma permutação de 6 elementos tomados 5 a 5. - Fórmula: $$P(6,5) = 6A_5$$ 4. Problema 70: Quantos números de quatro algarismos são múltiplos de 5? - Um número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5. - O primeiro algarismo (milhar) pode ser de 1 a 9 (não pode ser zero). - Os dois algarismos do meio podem ser de 0 a 9. - O último algarismo é 0 ou 5 (2 possibilidades). - Número de possibilidades para os dois algarismos do meio: $$10^2$$ - Total de números: $$9 \times 10^2 \times 2 = 9 \times 10A'_2 \times 2$$ (onde $10A'_2$ representa arranjo com repetição, ou simplesmente $10^2$) 5. Problema 71: Quantos números de telefone de 5 dígitos que começam por 12 podem existir? - Os dois primeiros dígitos são fixos: 1 e 2. - Restam 3 dígitos que podem variar de 0 a 9. - Cada dígito tem 10 possibilidades. - Total de números: $$10^3$$ Resposta final: - 67: $4! \times 3! \times 2!$ - 68: $9A_4$ - 69: $6A_5$ - 70: $9 \times 10A'_2 \times 2$ - 71: $10^3$