1. Énonçons clairement le problème : Trouver une manière élémentaire de résoudre un problème classique lié aux chemins de Dyck ou aux nombres de Catalan sans utiliser ces concepts spécifiques. 2. Comprenons le contexte : Les nombres de Catalan correspondent souvent à des structures combinatoires bien définies telles que le nombre de façons d'organiser certains objets, ou de tracer certains chemins sans dépasser une certaine frontière. 3. Raisonnement élémentaire : Plutôt que d'employer des formules fermées, on peut construire le problème par étape, en utilisant des principes simples de dénombrement et de récursivité. 4. Exemple de méthode : Supposons qu'on cherche le nombre de chemins allant de (0,0) à (n,n) sans jamais dépasser la diagonale $y=x$. 5. Au lieu de dire que c’est un nombre de Catalan, on peut raisonner : - À chaque étape, on peut aller vers le haut ou vers la droite. - On compte tous les chemins possibles, puis on soustrait ceux qui violent la condition. - Cette exclusion peut se faire par réflexion ou symétrie, ou via un comptage récursif. 6. On peut formuler une relation de récurrence qui compte les chemins valides de façon élémentaire sans faire appel à la formule de Catalan : $$C_0=1,\quad C_{k+1} = \sum_{i=0}^k C_i C_{k - i}$$ Cette relation exprime que le nombre de chemins valides de taille $k+1$ est la somme des chemins divisés en deux parties plus petites. 7. Cette relation peut être démontrée par un raisonnement combinatoire élémentaire, en décomposant le chemin au premier retour à la diagonale. Conclusion : En décomposant le problème en sous-problèmes plus petits et en utilisant la récursivité et la symétrie, il est possible de résoudre le problème de comptage associé aux chemins de Dyck ou nombres de Catalan sans faire appel directement aux formules ou définitions classiques.