1. **Énoncé du problème** : Nous avons un plateau 3×3 avec 9 jetons, chacun ayant une face blanche et une face noire. Le but est d'obtenir tous les jetons noirs visibles. Un coup consiste à retourner simultanément 3 jetons alignés (ligne, colonne ou diagonale). 2. **Positions de départ** : - Éric : Ligne 1 : noir, blanc, noir Ligne 2 : blanc, blanc, noir Ligne 3 : blanc, blanc, blanc - Sylvie : Ligne 1 : noir, blanc, noir Ligne 2 : blanc, noir, blanc Ligne 3 : blanc, blanc, blanc 3. **Représentation binaire** : On code noir = 1, blanc = 0. Éric : $$\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}$$ Sylvie : $$\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}$$ 4. **But** : Tous les jetons noirs, soit la matrice remplie de 1 : $$\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{matrix}$$ 5. **Coups possibles** : Chaque coup retourne 3 jetons alignés, inversant leur état (0→1, 1→0). Les lignes, colonnes et diagonales sont : - Lignes : (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) - Colonnes : (1,4,7), (2,5,8), (3,6,9) - Diagonales : (1,5,9), (3,5,7) 6. **Méthode** : On modélise le problème comme un système d'équations en $\mathbb{F}_2$ (arithmétique modulo 2). Chaque coup correspond à ajouter un vecteur binaire qui inverse les jetons concernés. 7. **Calcul pour Éric** : Après résolution (par exemple via algèbre linéaire mod 2), on trouve que le nombre minimum de coups est 3. 8. **Calcul pour Sylvie** : De même, la résolution montre que c'est impossible d'atteindre tous noirs à partir de la position de Sylvie. **Réponse finale** : Éric : 3 coups Sylvie : 0 coups (impossible)