1. **Énoncé du problème :** Dalia utilise uniquement les dominos dont au moins un des demi-dominos contient 0, 2 ou 6 points. Elle veut construire la plus longue suite possible de dominos différents, en respectant la règle que les demi-dominos collés doivent avoir le même nombre de points. 2. **Identification des dominos possibles :** Chaque domino est un couple $(a,b)$ avec $a,b \in \{0,1,2,\ldots,10\}$ et $a \leq b$ pour éviter les doublons (car $(a,b)$ et $(b,a)$ sont le même domino). Dalia ne prend que les dominos où $a=0$ ou $a=2$ ou $a=6$ ou $b=0$ ou $b=2$ ou $b=6$. 3. **Liste des demi-points autorisés dans la chaîne :** Les demi-dominos qui peuvent apparaître dans la chaîne sont ceux qui apparaissent dans les dominos sélectionnés. Puisque chaque domino doit avoir au moins un côté dans $\{0,2,6\}$, les sommets possibles pour la chaîne sont au minimum $\{0,2,6\}$. Mais les autres demi-points peuvent apparaître aussi s'ils sont associés à 0, 2 ou 6. 4. **Construction du graphe :** On modélise le problème par un graphe où les sommets sont les nombres de points $0$ à $10$. Chaque domino correspond à une arête entre deux sommets. On ne garde que les arêtes où au moins un sommet est dans $\{0,2,6\}$. 5. **Liste des arêtes (dominos) possibles :** Pour chaque $x$ de 0 à 10, on prend les dominos $(x,y)$ avec $y \geq x$ et $x=0$ ou $x=2$ ou $x=6$ ou $y=0$ ou $y=2$ ou $y=6$. Cela donne les dominos : - Avec 0 : $(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(0,10)$ - Avec 2 (hors ceux déjà comptés avec 0) : $(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10)$ - Avec 6 (hors ceux déjà comptés avec 0 ou 2) : $(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10)$ 6. **Objectif :** Trouver la plus longue chaîne de dominos distincts où les sommets adjacents sont égaux. Cela correspond à trouver le plus long chemin dans ce graphe. 7. **Analyse :** Le graphe est un sous-graphe du graphe complet sur $\{0,1,\ldots,10\}$ avec arêtes sélectionnées. Les sommets 0, 2, 6 sont des points de connexion. 8. **Stratégie pour la plus longue chaîne :** On peut commencer par 0, puis passer par tous les sommets connectés à 0, puis à 2, puis à 6, en utilisant les arêtes disponibles. 9. **Calcul du nombre maximal de dominos :** Le nombre total de dominos sélectionnés est : - Avec 0 : 11 dominos - Avec 2 (hors 0) : 9 dominos - Avec 6 (hors 0 et 2) : 5 dominos Total = 11 + 9 + 5 = 25 dominos 10. **Conclusion :** La plus longue suite possible contient donc $\boxed{25}$ dominos différents.