1. **Énoncé du problème :** Dalia utilise uniquement des dominos dont au moins un des demi-dominos contient 0, 2 ou 6 points. Elle veut construire la plus longue suite possible de dominos différents, en respectant la règle que les demi-dominos collés doivent avoir le même nombre de points. 2. **Définition des dominos utilisables :** Chaque domino est un couple $(a,b)$ avec $a,b \in \{0,1,2,\ldots,10\}$. Dalia utilise uniquement les dominos où $a=0$ ou $a=2$ ou $a=6$ ou $b=0$ ou $b=2$ ou $b=6$. 3. **Liste des demi-points possibles dans les dominos :** Les demi-points possibles sont $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. 4. **Dominos admissibles :** Un domino $(a,b)$ est admissible si $a$ ou $b$ est dans $\{0,2,6\}$. 5. **Règle d'enchaînement :** Pour coller deux dominos $(a,b)$ et $(c,d)$, il faut que $b=c$. 6. **Objectif :** Trouver la plus longue chaîne de dominos distincts $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$ telle que $y_i = x_{i+1}$ pour $i=1,\ldots,n-1$. 7. **Modélisation :** Considérons un graphe orienté où les sommets sont les nombres de points $0$ à $10$. Chaque domino admissible $(a,b)$ correspond à une arête dirigée de $a$ vers $b$. 8. **Contraintes sur les sommets :** Les sommets $0,2,6$ sont spéciaux car ils doivent apparaître au moins une fois dans chaque arête. 9. **Nombre total de dominos admissibles :** - Dominos avec $a \in \{0,2,6\}$ et $b$ quelconque : $3 \times 11 = 33$. - Dominos avec $b \in \{0,2,6\}$ et $a \notin \{0,2,6\}$ : $8 \times 3 = 24$. - Dominos avec $a,b \in \{0,2,6\}$ comptés deux fois, donc à retirer : $3 \times 3 = 9$. Total dominos admissibles = $33 + 24 - 9 = 48$. 10. **Construction de la plus longue chaîne :** La chaîne la plus longue correspond à un chemin dans ce graphe qui utilise le maximum d'arêtes sans répétition. 11. **Observation :** Les sommets $0,2,6$ sont connectés à tous les autres sommets. 12. **Stratégie :** Utiliser les sommets $0,2,6$ comme "ponts" pour relier les autres sommets. 13. **Longueur maximale :** Le nombre maximal de dominos dans la chaîne est égal au nombre total de dominos admissibles, soit 48. 14. **Réponse finale :** Le plus grand nombre de dominos différents que Dalia peut placer dans sa suite est $$48$$