1. **Énoncé du problème :** On a 8 livres différents : 4 de mathématiques, 1 de philosophie, 3 de cuisine. On choisit 2 livres. 2. **Formule utilisée :** Le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ est donné par la combinaison $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 3. **Calcul du nombre total de choix de 2 livres parmi 8 :** $$C_8^2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$$ 4. **Calcul du nombre de choix avec 1 livre de mathématiques et 1 livre hors mathématiques :** - Nombre de livres de mathématiques : 4 - Nombre de livres hors mathématiques : $8 - 4 = 4$ Nombre de choix = $4 \times 4 = 16$ 5. **Nombre de façons de ranger les 8 livres sur l’étagère :** Le nombre de permutations de 8 livres différents est $$8! = 40320$$ 6. **Rangement avec livres de mathématiques à gauche, philosophie à droite, cuisine au centre :** - Les 4 livres de mathématiques sont rangés à gauche : $4!$ façons - Le livre de philosophie est à droite : $1!$ façon - Les 3 livres de cuisine au centre : $3!$ façons Nombre total de rangements respectant la règle : $$4! \times 3! \times 1! = 24 \times 6 \times 1 = 144$$ 7. **Nombre de rangements ne respectant pas cette règle :** C’est le complément des rangements respectant la règle parmi tous les rangements possibles : $$8! - 144 = 40320 - 144 = 40176$$