1. Énoncé du problème : Nous avons 6 enfants. Parmi eux, 3 ont un billet de 500 et 3 ont un billet de 1000. Chaque enfant veut acheter un yaourt coûtant 500 chez un vendeur qui n'a aucune monnaie. Nous devons trouver le nombre de manières d'arranger ces enfants pour que chacun puisse acheter son yaourt sans problème de monnaie. 2. Compréhension du problème : Le vendeur n'a pas de monnaie, donc si un enfant avec un billet de 1000 veut acheter un yaourt à 500, il doit recvoir 500 de monnaie du paiement précédent. 3. Analyse des billets : - Enfant avec billet 500 : paiement exact, pas besoin de monnaie. - Enfant avec billet 1000 : besoin de 500 en monnaie. 4. Condition pour qu'il n'y ait pas de problème de monnaie : À chaque fois qu’un enfant avec billet de 1000 paye, il faut qu'il y ait déjà eu au moins un enfant avec billet de 500 qui a payé avant pour fournir la monnaie de 500. 5. Traduction en problème combinatoire : On cherche le nombre de permutations de la séquence composée de 3 billets 500 (notés 5) et 3 billets 1000 (notés 10) telles que, à tout point dans la ligne, le nombre de 5 rencontrés est toujours supérieur ou égal au nombre de 10 rencontrés. 6. Cette contrainte correspond aux chemins de Dyck ou aux nombres de Catalan. 7. Le nombre de telles permutations est donné par le nombre de Catalan $C_3 = \frac{1}{3+1}\binom{2*3}{3} = \frac{1}{4}\binom{6}{3} = \frac{1}{4}*20 = 5$. 8. Conclusion : Il y a 5 façons d'arranger les enfants pour que chacun puisse acheter son yaourt sans problème de monnaie. Réponse finale : $5$ arrangements possibles.