1. **Problema:** Considere o número 1 222 334 556. Queremos saber quantos números distintos podem ser formados rearranjando seus algarismos. 2. **Dados:** O número tem os algarismos: 1 (uma vez), 2 (três vezes), 3 (duas vezes), 4 (uma vez), 5 (duas vezes), 6 (uma vez). 3. **Fórmula para permutação com elementos repetidos:** $$\text{Total} = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots}$$ onde $n$ é o total de algarismos e $n_i$ são as repetições de cada algarismo. 4. **Número total de algarismos:** $1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10$. 5. **Calculando o total de números distintos:** $$\frac{10!}{1! \times 3! \times 2! \times 1! \times 2! \times 1!} = \frac{3628800}{(6 \times 2 \times 2)} = \frac{3628800}{24} = 151200$$ 6. **Números pares:** Para que o número seja par, o último algarismo deve ser par: 2, 4 ou 6. 7. **Calculando números pares:** - Fixamos o último dígito como 2, 4 ou 6 e permutamos os restantes 9 algarismos. 8. **Caso último dígito 2:** Como há 3 algarismos 2, fixar um no final deixa 2 algarismos 2 para permutar. Número de permutações: $$\frac{9!}{1! \times 2! \times 2! \times 1! \times 2! \times 1!} = \frac{362880}{(2 \times 2 \times 2)} = \frac{362880}{8} = 45360$$ 9. **Caso último dígito 4:** Fixar o 4 no final, sobra 9 algarismos com as mesmas repetições, exceto o 4 que agora é zero. $$\frac{9!}{1! \times 3! \times 2! \times 0! \times 2! \times 1!} = \frac{362880}{(6 \times 2 \times 2)} = \frac{362880}{24} = 15120$$ 10. **Caso último dígito 6:** Fixar o 6 no final, sobra 9 algarismos com as mesmas repetições, exceto o 6 que agora é zero. $$\frac{9!}{1! \times 3! \times 2! \times 1! \times 2! \times 0!} = \frac{362880}{(6 \times 2 \times 2)} = 15120$$ 11. **Total de números pares:** $$45360 + 15120 + 15120 = 75600$$ 12. **Números ímpares:** Total menos pares: $$151200 - 75600 = 75600$$ 13. **Quantos números têm o 4 precedendo o 6?** Para dois elementos distintos, metade das permutações os terá em uma ordem e metade na outra. 14. Portanto, números com 4 antes de 6: $$\frac{151200}{2} = 75600$$ 15. **Quantos números têm a sequência 23 duas vezes?** Temos dois 3 e três 2. Queremos que cada 3 seja precedido por um 2, formando duas sequências "23". 16. Consideramos os dois pares "23" como blocos indivisíveis. Assim, temos: - Dois blocos "23" (cada um com 2 dígitos) - Um 2 restante - Um 1 - Um 4 - Dois 5 - Um 6 Total de elementos para permutar: 2 blocos + 1 (2) + 1 (1) + 1 (4) + 2 (5) + 1 (6) = 8 elementos 17. Permutação com repetições: $$\frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160$$ 18. **Resposta final:** - 75.1: $151200$ - 75.2: pares $75600$, ímpares $75600$ - 75.3: $75600$ - 75.4: $20160$