1. مسئله: تابع داده شده $y = -x^3 + m x^2 - 2 m x + 3$ است. می‌خواهیم تعداد مقادیر صحیح $m$ را بیابیم که رأس سهمی در ناحیه چهارم محورهای مختصات قرار دارد. 2. ابتدا باید بدانیم رأس سهمی تابع کجاست. تابع داده شده یک چندجمله‌ای درجه ۳ است و رأس سهمی ندارد، اما احتمالاً منظور نقطه بحرانی یا نقطه ماکزیمم/مینیمم محلی است که با مشتق اول تابع مشخص می‌شود. 3. مشتق اول تابع را محاسبه می‌کنیم: $$y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + m x^2 - 2 m x + 3) = -3x^2 + 2 m x - 2 m$$ 4. نقاط بحرانی جایی هستند که $y' = 0$: $$-3x^2 + 2 m x - 2 m = 0$$ 5. این معادله درجه ۲ نسبت به $x$ است. برای داشتن نقاط بحرانی واقعی، دلتا باید مثبت باشد: $$\Delta = (2 m)^2 - 4(-3)(-2 m) = 4 m^2 - 24 m = 4 m (m - 6)$$ 6. برای وجود نقاط بحرانی، باید $\Delta \geq 0$: $$4 m (m - 6) \geq 0$$ 7. این نامساوی به این معنی است که یا $m \leq 0$ یا $m \geq 6$. 8. نقاط بحرانی: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 m \pm \sqrt{4 m (m - 6)}}{2(-3)} = \frac{-2 m \pm 2 \sqrt{m (m - 6)}}{-6} = \frac{m \mp \sqrt{m (m - 6)}}{3}$$ 9. برای یافتن مقدار $y$ در نقاط بحرانی، مقدار $x$ را در تابع اصلی جایگذاری می‌کنیم. 10. ناحیه چهارم محورهای مختصات یعنی $x > 0$ و $y < 0$. 11. بنابراین باید نقاط بحرانی با $x > 0$ و مقدار تابع در آن نقاط $y < 0$ باشد. 12. مقادیر صحیح $m$ را بررسی می‌کنیم که شرط‌های بالا را ارضا کنند و در بازه‌های $m \leq 0$ یا $m \geq 6$ باشند. 13. با بررسی مقادیر $m = 0, 1, 2, 3$ (گزینه‌ها) می‌بینیم که فقط $m=0$ و $m=1,2,3$ در بازه‌های دلتا مثبت نیستند، پس فقط $m=0$ بررسی می‌شود. 14. برای $m=0$: $$x = \frac{0 \mp \sqrt{0}}{3} = 0$$ که $x=0$ است و در ناحیه چهارم نیست. 15. بنابراین هیچ مقدار صحیح $m$ از گزینه‌های داده شده رأس سهمی را در ناحیه چهارم قرار نمی‌دهد. پاسخ: 0