1. Diberikan fungsi $y = e^{2x} \sin 3x$. Kita diminta mencari turunan ketiga dari fungsi ini. 2. Gunakan aturan turunan produk: jika $y = u \cdot v$, maka $y' = u'v + uv'$. 3. Misalkan $u = e^{2x}$ dan $v = \sin 3x$. 4. Turunan pertama: $$u' = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$$ $$v' = \frac{d}{dx} \sin 3x = 3 \cos 3x$$ Maka, $$y' = u'v + uv' = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} \cdot 3 \cos 3x = e^{2x} (2 \sin 3x + 3 \cos 3x)$$ 5. Turunan kedua: Gunakan aturan produk lagi pada $y' = e^{2x} (2 \sin 3x + 3 \cos 3x)$. Misal $f = e^{2x}$ dan $g = 2 \sin 3x + 3 \cos 3x$. Turunan $f$: $$f' = 2 e^{2x}$$ Turunan $g$: $$g' = 2 \cdot 3 \cos 3x - 3 \cdot 3 \sin 3x = 6 \cos 3x - 9 \sin 3x$$ Maka, $$y'' = f'g + fg' = 2 e^{2x} (2 \sin 3x + 3 \cos 3x) + e^{2x} (6 \cos 3x - 9 \sin 3x)$$ Sederhanakan: $$y'' = e^{2x} [4 \sin 3x + 6 \cos 3x + 6 \cos 3x - 9 \sin 3x] = e^{2x} (-5 \sin 3x + 12 \cos 3x)$$ 6. Turunan ketiga: Turunkan $y'' = e^{2x} (-5 \sin 3x + 12 \cos 3x)$ menggunakan aturan produk. Misal $p = e^{2x}$ dan $q = -5 \sin 3x + 12 \cos 3x$. Turunan $p$: $$p' = 2 e^{2x}$$ Turunan $q$: $$q' = -5 \cdot 3 \cos 3x - 12 \cdot 3 \sin 3x = -15 \cos 3x - 36 \sin 3x$$ Maka, $$y''' = p'q + pq' = 2 e^{2x} (-5 \sin 3x + 12 \cos 3x) + e^{2x} (-15 \cos 3x - 36 \sin 3x)$$ Sederhanakan: $$y''' = e^{2x} (-10 \sin 3x + 24 \cos 3x - 15 \cos 3x - 36 \sin 3x) = e^{2x} (-46 \sin 3x + 9 \cos 3x)$$ Jadi, turunan ketiga dari $y = e^{2x} \sin 3x$ adalah $$\boxed{y''' = e^{2x} (-46 \sin 3x + 9 \cos 3x)}$$