1. Tentukan titik-titik ekstrem pada persamaan: **a) $y = 12 \ln x + 4x^2 - 10x$** 1. Masalah: Cari titik ekstrem fungsi $y = 12 \ln x + 4x^2 - 10x$. 2. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik kritis: $$y' = \frac{12}{x} + 8x - 10$$ 3. Cari nilai $x$ yang memenuhi $y' = 0$: $$\frac{12}{x} + 8x - 10 = 0 \Rightarrow 12 + 8x^2 - 10x = 0 \Rightarrow 8x^2 - 10x + 12 = 0$$ 4. Gunakan diskriminan: $$\Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 12 = 100 - 384 = -284 < 0$$ 5. Karena diskriminan negatif, tidak ada titik kritis nyata, jadi tidak ada titik ekstrem. **b) $y = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 1$** 1. Masalah: Cari titik ekstrem fungsi $y = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 1$. 2. Turunan pertama: $$y' = 6x^2 - 12x + 4$$ 3. Cari $x$ dengan $y' = 0$: $$6x^2 - 12x + 4 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 2 = 0$$ 4. Diskriminan: $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12 > 0$$ 5. Akar-akar: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 6. Titik ekstrem di $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ dan $x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$. 7. Turunan kedua: $$y'' = 12x - 12$$ 8. Evaluasi $y''$ di titik-titik kritis: - $y''(x_1) = 12(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 12 = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} > 0$ (minimum) - $y''(x_2) = 12(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 12 = -4\sqrt{3} < 0$ (maksimum) **c) $y = x(x - 1)(x - 2)$** 1. Masalah: Cari titik ekstrem fungsi $y = x(x - 1)(x - 2)$. 2. Perluas fungsi: $$y = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$$ 3. Turunan pertama: $$y' = 3x^2 - 6x + 2$$ 4. Cari $x$ dengan $y' = 0$: $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$ 5. Diskriminan: $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12 > 0$$ 6. Akar-akar: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 7. Turunan kedua: $$y'' = 6x - 6$$ 8. Evaluasi $y''$ di titik-titik kritis: - $y''(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 6(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = 2\sqrt{3} > 0$ (minimum) - $y''(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 6(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = -2\sqrt{3} < 0$ (maksimum) 2. Tentukan titik belok dan persamaan garis singgungnya: **a) $y = x^4 - 10x^2 + 7x + 9$** 1. Masalah: Cari titik belok dan persamaan garis singgung fungsi $y = x^4 - 10x^2 + 7x + 9$. 2. Turunan pertama: $$y' = 4x^3 - 20x + 7$$ 3. Turunan kedua: $$y'' = 12x^2 - 20$$ 4. Titik belok terjadi saat $y'' = 0$: $$12x^2 - 20 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$ 5. Jadi, $x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$. 6. Hitung $y$ di titik belok: - $y(\sqrt{\frac{5}{3}}) = (\sqrt{\frac{5}{3}})^4 - 10(\sqrt{\frac{5}{3}})^2 + 7(\sqrt{\frac{5}{3}}) + 9$ - $y(-\sqrt{\frac{5}{3}}) = (-\sqrt{\frac{5}{3}})^4 - 10(-\sqrt{\frac{5}{3}})^2 + 7(-\sqrt{\frac{5}{3}}) + 9$ 7. Hitung kemiringan garis singgung di titik belok dengan $y'$: - $m = y'(x)$ 8. Persamaan garis singgung: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ **b) $y = x^3/2 - x^2 - 2x + 5$** 1. Masalah: Cari titik belok dan persamaan garis singgung fungsi $y = \frac{x^3}{2} - x^2 - 2x + 5$. 2. Turunan pertama: $$y' = \frac{3}{2}x^2 - 2x - 2$$ 3. Turunan kedua: $$y'' = 3x - 2$$ 4. Titik belok saat $y'' = 0$: $$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$ 5. Hitung $y$ di titik belok: $$y\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{(\frac{2}{3})^3}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{2}{3}\right) + 5$$ 6. Hitung kemiringan garis singgung di titik belok: $$m = y'\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{2}{3}\right) - 2$$ 7. Persamaan garis singgung: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Jawaban lengkap dengan nilai numerik dapat dihitung lebih lanjut jika diperlukan.