1. Tentukan titik-titik ekstrem pada persamaan: **a.)** $y = 12 \ln x \cdot 4x^2 - 10x$ 1. Masalah: Cari titik ekstrem (maksimum/minimum) fungsi $y = 12 \ln x \cdot 4x^2 - 10x$. 2. Gunakan turunan pertama $y'$ dan cari nilai $x$ dimana $y' = 0$. 3. Turunan produk: $y = 12 \ln x \cdot 4x^2 - 10x = 48x^2 \ln x - 10x$ $$y' = \frac{d}{dx}(48x^2 \ln x) - \frac{d}{dx}(10x)$$ Gunakan aturan produk untuk $48x^2 \ln x$: $$\frac{d}{dx}(48x^2 \ln x) = 48 \left(2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} \right) = 48(2x \ln x + x) = 48x(2 \ln x + 1)$$ Turunan $-10x$ adalah $-10$. Jadi: $$y' = 48x(2 \ln x + 1) - 10$$ 4. Cari $x$ dimana $y' = 0$: $$48x(2 \ln x + 1) - 10 = 0$$ $$48x(2 \ln x + 1) = 10$$ $$x(2 \ln x + 1) = \frac{10}{48} = \frac{5}{24}$$ Persamaan ini harus diselesaikan secara numerik. 5. Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis titik ekstrem. **b.)** $y = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 1$ 1. Cari turunan pertama: $$y' = 6x^2 - 12x + 4$$ 2. Cari titik kritis dengan $y' = 0$: $$6x^2 - 12x + 4 = 0$$ Bagi 2: $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$ Gunakan rumus kuadrat: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 3. Turunan kedua: $$y'' = 12x - 12$$ Evaluasi $y''$ di titik kritis untuk menentukan maksimum/minimum. **c.)** $y = x(x - 1)(x - 2)$ 1. Kembangkan fungsi: $$y = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$$ 2. Turunan pertama: $$y' = 3x^2 - 6x + 2$$ 3. Cari titik kritis dengan $y' = 0$: $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$ Gunakan rumus kuadrat: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 4. Turunan kedua: $$y'' = 6x - 6$$ Evaluasi $y''$ di titik kritis untuk menentukan jenis ekstrem. 2. Tentukan titik belok dan persamaan garis singgungnya: **a.)** $y = x^4 - 10x^2 + 7x + 9$ 1. Turunan pertama: $$y' = 4x^3 - 20x + 7$$ 2. Turunan kedua: $$y'' = 12x^2 - 20$$ 3. Titik belok terjadi saat $y'' = 0$: $$12x^2 - 20 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$$ 4. Hitung $y$ dan $y'$ di titik belok untuk persamaan garis singgung: $$y(x) = x^4 - 10x^2 + 7x + 9$$ $$y'(x) = 4x^3 - 20x + 7$$ Persamaan garis singgung di $x = a$: $$y = y(a) + y'(a)(x - a)$$ **b.)** $y = x^3 - x^2 - 2x + 5$ 1. Turunan pertama: $$y' = 3x^2 - 2x - 2$$ 2. Turunan kedua: $$y'' = 6x - 2$$ 3. Titik belok saat $y'' = 0$: $$6x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$$ 4. Hitung $y$ dan $y'$ di $x = \frac{1}{3}$: $$y\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} + 5 = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 5 = \frac{1}{27} - \frac{3}{27} - \frac{18}{27} + \frac{135}{27} = \frac{115}{27}$$ $$y'\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} - 2 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 2 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}$$ Persamaan garis singgung: $$y = \frac{115}{27} - \frac{7}{3} \left(x - \frac{1}{3}\right)$$