1. **Tính tích phân**: 2. a/ Tính $I_1 = \int (\tan x + 3e^{-2x}) \, dx$. - Công thức: $\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$. - Ta có $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$. - Ta có $\int 3e^{-2x} \, dx = 3 \int e^{-2x} \, dx = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) + C = -\frac{3}{2} e^{-2x} + C$. Vậy $$I_1 = -\ln|\cos x| - \frac{3}{2} e^{-2x} + C.$$ 3. b/ Tính $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx$. - Đây là tích phân chuẩn của hàm Cauchy. - Công thức: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \pi$. 4. c/ Tính $I_2 = \int \ln(3s) \, ds$. - Sử dụng tích phân từng phần: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. - Chọn $u = \ln(3s)$, $dv = ds$. - Ta có $du = \frac{1}{s} ds$, $v = s$. Vậy $$I_2 = s \ln(3s) - \int s \cdot \frac{1}{s} ds = s \ln(3s) - \int 1 \, ds = s \ln(3s) - s + C.$$ 5. d/ Tính $I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \cos 2x \, dx$. - Dùng công thức nhân đôi hoặc biến đổi tích: Ta biết $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ hoặc $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$. Ở đây ta giữ nguyên và dùng công thức tích: $$\sin x \cos 2x = \frac{1}{2} [\sin(x+2x) + \sin(x-2x)] = \frac{1}{2} (\sin 3x + \sin(-x)) = \frac{1}{2} (\sin 3x - \sin x).$$ Vậy $$I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} (\sin 3x - \sin x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 3x \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx \right).$$ Tính từng tích phân: $$\int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a} \cos ax + C.$$ Do đó $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 3x \, dx = \left[-\frac{1}{3} \cos 3x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{3} (\cos \frac{3\pi}{4} - \cos 0) = -\frac{1}{3} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) = \frac{1}{3} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$ $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Vậy $$I_3 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6} - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (\sqrt{2} - 1) = \frac{\sqrt{2} - 1}{3}.$$ 6. e/ Tính $I_4 = \int \tan^2 t \, dt$. - Dùng công thức: $\tan^2 t = \sec^2 t - 1$. Vậy $$I_4 = \int (\sec^2 t - 1) \, dt = \int \sec^2 t \, dt - \int 1 \, dt = \tan t - t + C.$$ **Kết luận:** $$I_1 = -\ln|\cos x| - \frac{3}{2} e^{-2x} + C,$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \pi,$$ $$I_2 = s \ln(3s) - s + C,$$ $$I_3 = \frac{\sqrt{2} - 1}{3},$$ $$I_4 = \tan t - t + C.$$