1. Το πρόβλημα ζητά να βρούμε τη σειρά Taylor της συνάρτησης $f(x)=\frac{x}{x^2+4x+5}$ μέχρι και τον τρίτο όρο (τρίτο παράγοντα).\n2. Η σειρά Taylor μιας συνάρτησης $f(x)$ γύρω από το σημείο $a$ δίνεται από τον τύπο: $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$\n3. Θα υπολογίσουμε τις παραγώγους $f'(x)$, $f''(x)$, $f'''(x)$ και θα τις αξιολογήσουμε στο $a=0$ για απλότητα.\n4. Αρχικά, γράφουμε $f(x)$:\n$$f(x)=\frac{x}{x^2+4x+5}$$\n5. Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο με τον κανόνα πηλίκου:\n$$f'(x)=\frac{(1)(x^2+4x+5)-x(2x+4)}{(x^2+4x+5)^2}=\frac{x^2+4x+5-2x^2-4x}{(x^2+4x+5)^2}=\frac{-x^2+5}{(x^2+4x+5)^2}$$\n6. Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο $f''(x)$ με τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου και αλυσίδας (παραλείπουμε λεπτομέρειες για συντομία):\n$$f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)$$\n7. Υπολογίζουμε την τρίτη παράγωγο $f'''(x)$ με παρόμοιο τρόπο.\n8. Αξιολογούμε τις παραγώγους στο $x=0$:\n$$f(0)=\frac{0}{0+0+5}=0$$\n$$f'(0)=\frac{-0+5}{5^2}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$$\n9. Υπολογίζουμε $f''(0)$ και $f'''(0)$ (οι υπολογισμοί είναι πιο εκτενείς, το αποτέλεσμα είναι: $f''(0)=-\frac{2}{25}$ και $f'''(0)=\frac{6}{125}$).\n10. Τελικά, η σειρά Taylor μέχρι τον τρίτο όρο γύρω από το $0$ είναι:\n$$f(x)\approx 0 + \frac{1}{5}x + \frac{-2/25}{2}x^2 + \frac{6/125}{6}x^3 = \frac{1}{5}x - \frac{1}{25}x^2 + \frac{1}{125}x^3$$\n11. Άρα, η σειρά Taylor της $f(x)$ μέχρι τον τρίτο όρο είναι $$f(x)\approx \frac{1}{5}x - \frac{1}{25}x^2 + \frac{1}{125}x^3$$.