1. **שאלה 1:** נתונים שלושה טורים A, B, C וטענות I, II, III: - I: הטור מתכנס בהחלט. - II: הטור מתכנס בתנאי. - III: הטור מתבדר. **טור A:** $$\sum (-1)^n \frac{n}{e^n} + n^2$$ החלק $n^2$ גדל ללא גבול ולכן הטור מתבדר (III). **טור B:** $$\sum (-1)^n \ln(n)$$ הסדרה $\ln(n)$ עולה לאינסוף ולכן הטור מתבדר (III). **טור C:** $$\sum \sqrt{n^2 + 1 - n}$$ הסכום מתנהג כמו $\sum n$ ולכן מתבדר (III). לפי הניתוח, כל הטורים מתבדרים (III). מתוך הטבלה, ההתאמה הנכונה היא עמודה ה (הכי מתאימה ל-III בכל הטורים). 2. **שאלה 2:** הטור: $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right) x^n$$ נבדוק את הטענות: - הטור מתכנס עבור $x = -1$: נבחן את הטור ב-$x=-1$: $$\sum \left(\frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)(-1)^n = \sum \frac{(-1)^n}{n} + \sum \frac{1}{\sqrt{n}}$$ הטור $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ מתבדר, לכן הטור כולו מתבדר. - הטור מתכנס עבור $-1 < x < 1$: מכיוון ש-$\frac{1}{n}x^n$ ו-$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}x^n$ מתכנסים בתנאי $|x|<1$, הטור מתכנס בתנאי זה. - הטור מתכנס בהחלט עבור $-0.5 < x < 0.5$: עבור $|x|<0.5$ הטור מתכנס בהחלט כי הסכום של הערכים המוחלטים מתכנס. - הטור מתכנס לכל $x > 0$: לא נכון, כי עבור $x=1$ הטור לא מתכנס בהחלט. - הטור מתכנס עבור $x=1$: נבחן את הטור ב-$x=1$: $$\sum \left(\frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)$$ הטור $\sum \frac{1}{n}$ מתבדר, לכן הטור מתבדר. - הטור מתכנס בתנאי עבור $x = -0.5$: עבור $x=-0.5$ הטור מתכנס בתנאי כי $|x|<1$. **מספר הטענות הנכונות:** 3 (הטענות השנייה, השלישית, והשישית נכונות). **תשובה:** ג. 3