1. **استخدام نظرية الشطيرة لإيجاد الحد** المشكلة: \(\lim_{x \to 0} (3 + x^2 \sin(\frac{1}{x}))\) 1.1. نعلم أن \(-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1\) لجميع قيم \(x \neq 0\). 1.2. بالتالي $$-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$$ 1.3. إذاً $$3 - x^2 \leq 3 + x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 3 + x^2$$ 1.4. عندما \(x \to 0\): $$\lim_{x \to 0} (3 - x^2) = 3$$ $$\lim_{x \to 0} (3 + x^2) = 3$$ 1.5. باستخدام نظرية الشطيرة، الحد الأوسط يساوي 3 $$\boxed{\lim_{x \to 0} (3 + x^2 \sin(\frac{1}{x})) = 3}$$ 2. **تحليل استمرارية الدالة عند نقاط معينة بناءً على الرسم** (1) عند \(x=1\): - الدالة مستمرة إذا كان الحد من اليسار \(=\) الحد من اليمين \(=\) قيمة الدالة عند \(x=1\). - من الرسم، يبدو أن هناك نقطة صلبة عند \(x=1\) مع توافق القيم، إذن $$\text{الدالة متصلة عند } x=1$$ (2) عند \(x=0\): - من الرسم، منحنى الدالة يبدو مستمراً بدون قفزات أو نقاط مغلقة/مفتوحة مختلفة. - إذن $$\text{الدالة متصلة عند } x=0$$ (3) عند \(x=-1\): - يوجد هنا فجوة أو قفزة (نقطة مفتوحة وأسفل نقطة مغلقة) - هذا يدل على عدم تطابق قيمة الدالة مع الحد، بالتالي $$\text{الدالة غير متصلة عند } x=-1$$ (4) عند \(x=2\): - يوجد نقطة منعزلة أو منفصلة عن المنحنى الأساسي، مما يدل على قفزة قيم - لذا $$\text{الدالة غير متصلة عند } x=2$$ **ملخص الاستمرارية:** - متصلة عند \(x=1\) و \(x=0\) - غير متصلة عند \(x=-1\) و \(x=2\)