1. **問題陳述**： (五) 求極限 $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{n}}{\sqrt{n^3}}$$，利用黎曼積分方法。 (六) 找函數 $$f(x)$$ 和常數 $$a$$，使得 $$7 + \int_a^x \frac{f(t)}{t^2} dt = 3\sqrt{x}$$ 對所有 $$x > 0$$ 成立。 2. **(五) 利用黎曼積分求極限**： - 觀察分子為 $$\sum_{k=1}^n \sqrt{k}$$，分母為 $$\sqrt{n^3} = n^{3/2}$$。 - 將分子寫成 $$\sum_{k=1}^n \sqrt{k} = \sum_{k=1}^n k^{1/2}$$。 - 將分子除以 $$n^{3/2}$$，可寫成 $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^{1/2}$$。 - 這是黎曼和形式，對應函數 $$f(x) = x^{1/2}$$，區間 $$[0,1]$$。 - 因此極限為黎曼積分： $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \cdots + \sqrt{n}}{n^{3/2}} = \int_0^1 x^{1/2} dx$$。 - 計算積分： $$\int_0^1 x^{1/2} dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$$。 3. **(六) 求函數 $$f(x)$$ 和常數 $$a$$**： - 題目給定： $$7 + \int_a^x \frac{f(t)}{t^2} dt = 3\sqrt{x}$$。 - 對 $$x$$ 兩邊微分，利用微積分基本定理： $$\frac{d}{dx} \left(7 + \int_a^x \frac{f(t)}{t^2} dt \right) = \frac{d}{dx} (3\sqrt{x})$$。 - 左邊微分得： $$\frac{f(x)}{x^2}$$。 - 右邊微分得： $$\frac{3}{2} x^{-1/2}$$。 - 因此： $$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{3}{2} x^{-1/2}$$。 - 解出 $$f(x)$$： $$f(x) = \frac{3}{2} x^{-1/2} \times x^2 = \frac{3}{2} x^{3/2}$$。 4. **求常數 $$a$$**： - 將 $$x = a$$ 代入原式： $$7 + \int_a^a \frac{f(t)}{t^2} dt = 3\sqrt{a}$$。 - 積分上下限相同，積分值為 0，故： $$7 = 3\sqrt{a}$$。 - 解出 $$a$$： $$\sqrt{a} = \frac{7}{3} \Rightarrow a = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}$$。 **最終答案**： (五) 極限為 $$\frac{2}{3}$$。 (六) 函數 $$f(x) = \frac{3}{2} x^{3/2}$$，常數 $$a = \frac{49}{9}$$。