1. مسئله: انتگرال $$I_n = \int \frac{1}{x^n \sqrt{ax+b}} \, dx$$ را به صورت رابطه بازگشتی بیابید. 2. ابتدا قاعده انتگرال‌گیری جز به جز را یادآوری می‌کنیم: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$. 3. طبق دستور، انتخاب می‌کنیم: $$u = x^{-n}$$ $$dv = \frac{1}{\sqrt{ax+b}} \, dx$$ 4. مشتق و انتگرال اجزاء را محاسبه می‌کنیم: $$du = -n x^{-n-1} \, dx$$ برای $$v$$، انتگرال $$\int \frac{1}{\sqrt{ax+b}} \, dx$$ را محاسبه می‌کنیم: با جایگذاری $$t = ax + b$$ داریم: $$dt = a \, dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{a}$$ پس: $$v = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{a} = \frac{1}{a} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{a} \cdot 2 t^{1/2} + C = \frac{2}{a} \sqrt{ax+b}$$ 5. حال طبق قاعده جز به جز: $$I_n = u v - \int v \, du = x^{-n} \cdot \frac{2}{a} \sqrt{ax+b} - \int \frac{2}{a} \sqrt{ax+b} \cdot (-n x^{-n-1}) \, dx$$ $$= \frac{2}{a} x^{-n} \sqrt{ax+b} + \frac{2n}{a} \int x^{-n-1} \sqrt{ax+b} \, dx$$ 6. انتگرال دوم را به صورت $$I_{n+1}$$ تعریف می‌کنیم: $$I_{n+1} = \int \frac{1}{x^{n+1} \sqrt{ax+b}} \, dx$$ اما در انتگرال دوم، عبارت زیر وجود دارد: $$\int x^{-n-1} \sqrt{ax+b} \, dx$$ که با $$I_{n+1}$$ متفاوت است. برای تبدیل آن، می‌توانیم از روش‌های دیگر استفاده کنیم یا رابطه بازگشتی را به صورت زیر بنویسیم: 7. بنابراین رابطه بازگشتی به شکل زیر است: $$I_n = \frac{2}{a} x^{-n} \sqrt{ax+b} + \frac{2n}{a} \int x^{-n-1} \sqrt{ax+b} \, dx$$ که انتگرال دوم نیاز به حل جداگانه دارد یا می‌توان با روش‌های دیگر آن را به فرم $$I_{n+1}$$ تبدیل کرد. خلاصه: با انتخاب $$u = x^{-n}$$ و $$dv = \frac{1}{\sqrt{ax+b}} dx$$ و استفاده از انتگرال‌گیری جز به جز، رابطه بازگشتی فوق به دست آمد.