1. مسئله: انتگرال $$I_n = \int \frac{1}{x^n \sqrt{ax+b}} \, dx$$ را به صورت رابطه بازگشتی بیابیم. 2. ابتدا تعریف کنیم: $$I_n = \int \frac{1}{x^n \sqrt{ax+b}} \, dx$$ که در آن $$n \in \mathbb{N}$$ و $$a,b$$ ثابت هستند. 3. برای یافتن رابطه بازگشتی، از روش جایگزینی و انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. ابتدا عبارت را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم: $$I_n = \int x^{-n} (ax+b)^{-\frac{1}{2}} \, dx$$ 4. مشتق عبارت زیر را در نظر می‌گیریم: $$u = x^{-n+1}$$ $$dv = (ax+b)^{-\frac{1}{2}} dx$$ 5. مشتق و انتگرال آنها: $$du = -(n-1) x^{-n} dx$$ $$v = \int (ax+b)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{a} \sqrt{ax+b}$$ 6. طبق فرمول انتگرال‌گیری جزء به جزء: $$I_n = uv - \int v \, du = x^{-n+1} \cdot \frac{2}{a} \sqrt{ax+b} + \int \frac{2}{a} \sqrt{ax+b} (n-1) x^{-n} dx$$ 7. ساده‌سازی: $$I_n = \frac{2}{a} x^{-n+1} \sqrt{ax+b} + \frac{2(n-1)}{a} \int x^{-n} \sqrt{ax+b} \, dx$$ 8. توجه کنید که انتگرال دوم با $$I_{n-1}$$ متفاوت است، اما می‌توان آن را به صورت رابطه بازگشتی بیان کرد. برای این منظور، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم: $$I_{n-1} = \int \frac{1}{x^{n-1} \sqrt{ax+b}} dx$$ 9. با توجه به این نکته، رابطه بازگشتی به صورت زیر نوشته می‌شود: $$I_n = \frac{2}{a} x^{-n+1} \sqrt{ax+b} + \frac{2(n-1)}{a} I_{n-1}$$ 10. بنابراین، رابطه بازگشتی انتگرال $$I_n$$ بر حسب $$I_{n-1}$$ به دست آمد. 11. نکته مهم: برای استفاده از این رابطه، باید مقدار اولیه $$I_0$$ یا $$I_1$$ را محاسبه کنیم تا بتوانیم مقادیر بعدی را به دست آوریم. نتیجه نهایی: $$I_n = \frac{2}{a} x^{-n+1} \sqrt{ax+b} + \frac{2(n-1)}{a} I_{n-1}$$ که این رابطه بازگشتی برای انتگرال داده شده است.