1. Énoncé du problème : Nous devons calculer $dF$ où $F = \sin(x) y^2$ et $\varphi(t) = (t^2, t)$. Ici, $F$ est une fonction de deux variables $x$ et $y$, et $\varphi$ est une fonction composée qui exprime $x$ et $y$ en fonction de $t$. 2. Remplaçons $x$ et $y$ par leurs expressions en fonction de $t$ : $$x = t^2, \quad y = t.$$ 3. Définissons la fonction composée $G(t) = F(\varphi(t)) = \sin(t^2) \cdot (t)^2 = t^2 \sin(t^2).$ 4. Calculons la différentielle $dF$ via la différentiation de $G(t)$ : différentiation de $G(t)$ par rapport à $t$ donne $$G'(t) = \frac{d}{dt} [t^2 \sin(t^2)] = 2t \sin(t^2) + t^2 \cdot 2t \cos(t^2) = 2t \sin(t^2) + 2 t^3 \cos(t^2).$$ 5. Donc, la différentielle $dF$ par rapport à $t$ est $$dF = G'(t) dt = [2t \sin(t^2) + 2 t^3 \cos(t^2)] dt.$$ 6. Résumé : La dérivée de la fonction composée $F \circ \varphi$ est $$\boxed{dF = [2t \sin(t^2) + 2 t^3 \cos(t^2)] dt.}$$