1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}^+$ كما يلي: $$f(x) = \frac{2x^2}{\sqrt{x^3 + 8}}$$ المطلوب: 1- تحديد جميع الدوال الأصلية لـ $f$ على $\mathbb{R}^+$. 2- تحديد الدالة الأصلية $F$ التي تحقق $F(1) = 1$. 2. **صيغة الدوال الأصلية:** الدالة الأصلية $F$ لدالة $f$ هي دالة تحقق: $$F'(x) = f(x)$$ لإيجاد $F$, نحتاج إلى حساب التكامل: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{2x^2}{\sqrt{x^3 + 8}} \, dx$$ 3. **حل التكامل:** نستخدم التعويض: $$t = x^3 + 8 \implies dt = 3x^2 dx \implies x^2 dx = \frac{dt}{3}$$ بالتالي: $$F(x) = \int \frac{2x^2}{\sqrt{t}} dx = 2 \int \frac{x^2 dx}{t^{1/2}} = 2 \int \frac{1}{t^{1/2}} \cdot x^2 dx = 2 \int t^{-1/2} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{2}{3} \int t^{-1/2} dt$$ 4. **حساب التكامل:** $$\int t^{-1/2} dt = 2 t^{1/2} + C$$ لذا: $$F(x) = \frac{2}{3} \times 2 t^{1/2} + C = \frac{4}{3} \sqrt{x^3 + 8} + C$$ 5. **الدوال الأصلية:** جميع الدوال الأصلية لـ $f$ على $\mathbb{R}^+$ هي: $$F(x) = \frac{4}{3} \sqrt{x^3 + 8} + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ 6. **تحديد $F$ بحيث $F(1) = 1$:** نعوض $x=1$: $$F(1) = \frac{4}{3} \sqrt{1^3 + 8} + C = \frac{4}{3} \sqrt{9} + C = \frac{4}{3} \times 3 + C = 4 + C$$ ونريد: $$4 + C = 1 \implies C = 1 - 4 = -3$$ إذاً الدالة الأصلية المطلوبة هي: $$F(x) = \frac{4}{3} \sqrt{x^3 + 8} - 3$$ **النتيجة النهائية:** - جميع الدوال الأصلية لـ $f$ هي $F(x) = \frac{4}{3} \sqrt{x^3 + 8} + C$. - الدالة الأصلية التي تحقق $F(1) = 1$ هي $F(x) = \frac{4}{3} \sqrt{x^3 + 8} - 3$.