1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $f(x) = \frac{2x^2}{\sqrt{x^2 + 8}}$ معرفة على $\mathbb{R}^+$. 2. **تحديد المجال الأصلي للدالة $f$ على $\mathbb{R}$:** - الدالة تحتوي على جذر تربيعي في المقام $\sqrt{x^2 + 8}$. - التعبير داخل الجذر $x^2 + 8$ موجب دائماً لأي $x \in \mathbb{R}$. - المقام لا يساوي صفر أبداً لأن $x^2 + 8 \geq 8 > 0$. - إذن، الدالة معرفة على كامل $\mathbb{R}$. 3. **إيجاد الدالة الأصلية $F$ على $\mathbb{R}^+$ بحيث $F(1) = 1$:** - نعلم أن $F'(x) = f(x) = \frac{2x^2}{\sqrt{x^2 + 8}}$. - نريد إيجاد $F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2x^2}{\sqrt{x^2 + 8}} dx$. 4. **حساب التكامل:** - نستخدم التعويض $t = x^2 + 8 \Rightarrow dt = 2x dx$. - نعيد كتابة التكامل: $$\int \frac{2x^2}{\sqrt{x^2 + 8}} dx = \int \frac{2x^2}{\sqrt{t}} dx$$ - نلاحظ أن $2x dx = dt$، إذن: $$\int \frac{2x^2}{\sqrt{t}} dx = \int \frac{x \cdot 2x dx}{\sqrt{t}} = \int \frac{x dt}{\sqrt{t}}$$ - لكن $x = \sqrt{t - 8}$، إذن: $$\int \frac{\sqrt{t - 8}}{\sqrt{t}} dt = \int \sqrt{\frac{t - 8}{t}} dt = \int \sqrt{1 - \frac{8}{t}} dt$$ - هذا التكامل معقد، لذا نعيد النظر في طريقة التكامل. 5. **طريقة بديلة: كتابة $f(x)$ بشكل مناسب:** - نكتب: $$f(x) = \frac{2x^2}{\sqrt{x^2 + 8}} = 2x^2 (x^2 + 8)^{-1/2}$$ - نستخدم التعويض $u = x^2 + 8$, إذن $du = 2x dx$. - نعيد كتابة التكامل: $$\int f(x) dx = \int 2x^2 (x^2 + 8)^{-1/2} dx = \int x \cdot 2x (x^2 + 8)^{-1/2} dx = \int x u^{-1/2} du / (2x)$$ - هذا غير واضح، لذا نستخدم تعويض مباشر: 6. **تعويض $t = \sqrt{x^2 + 8}$:** - إذن $t^2 = x^2 + 8$. - نشتق: $2t dt = 2x dx \Rightarrow t dt = x dx$. - نعيد كتابة التكامل: $$\int \frac{2x^2}{t} dx = \int \frac{2x^2}{t} dx = \int \frac{2x^2}{t} dx$$ - نكتب $x^2 = t^2 - 8$، إذن: $$\int \frac{2(t^2 - 8)}{t} dx$$ - لكن نحتاج إلى التعبير عن $dx$ بدلالة $dt$: $$t dt = x dx \Rightarrow dx = \frac{t dt}{x} = \frac{t dt}{\sqrt{t^2 - 8}}$$ - إذن التكامل يصبح: $$\int \frac{2(t^2 - 8)}{t} \cdot \frac{t dt}{\sqrt{t^2 - 8}} = \int \frac{2(t^2 - 8)}{t} \cdot \frac{t dt}{\sqrt{t^2 - 8}} = \int 2 \frac{t^2 - 8}{\sqrt{t^2 - 8}} dt = 2 \int \sqrt{t^2 - 8} dt$$ 7. **تكامل $\int \sqrt{t^2 - a^2} dt$ معروف:** - الصيغة: $$\int \sqrt{t^2 - a^2} dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln|t + \sqrt{t^2 - a^2}| + C$$ - هنا $a^2 = 8$. 8. **نطبق الصيغة:** $$F(x) = 2 \left( \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - 8} - \frac{8}{2} \ln|t + \sqrt{t^2 - 8}| \right) + C = t \sqrt{t^2 - 8} - 8 \ln|t + \sqrt{t^2 - 8}| + C$$ - نعود إلى $t = \sqrt{x^2 + 8}$: $$F(x) = \sqrt{x^2 + 8} \cdot \sqrt{(x^2 + 8) - 8} - 8 \ln \left| \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{x^2} \right| + C$$ - لأن $\sqrt{(x^2 + 8) - 8} = \sqrt{x^2} = |x|$، وعلى $\mathbb{R}^+$ يكون $|x| = x$: $$F(x) = x \sqrt{x^2 + 8} - 8 \ln \left( \sqrt{x^2 + 8} + x \right) + C$$ 9. **إيجاد الثابت $C$ باستخدام $F(1) = 1$:** - نحسب: $$F(1) = 1 \cdot \sqrt{1 + 8} - 8 \ln (\sqrt{9} + 1) + C = 3 - 8 \ln (3 + 1) + C = 3 - 8 \ln 4 + C$$ - نساويها 1: $$3 - 8 \ln 4 + C = 1 \Rightarrow C = 1 - 3 + 8 \ln 4 = -2 + 8 \ln 4$$ 10. **النتيجة النهائية:** $$F(x) = x \sqrt{x^2 + 8} - 8 \ln \left( \sqrt{x^2 + 8} + x \right) - 2 + 8 \ln 4$$