1. **Постановка задачі:** Дослідити неперервність функції $$y=\begin{cases}-0.5x, & x<0 \\\ x^2+1, & 0\leq x<1 \\\ 2, & x\geq 1 \end{cases}$$ 2. **Правила неперервності:** Функція неперервна в точці $x=a$, якщо: - $\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a)$ - Існують обидва односторонні границі і вони рівні значенню функції 3. **Перевірка неперервності в точці $x=0$:** - $\lim_{x\to 0^-} y = \lim_{x\to 0^-} (-0.5x) = -0.5\cdot 0 = 0$ - $\lim_{x\to 0^+} y = \lim_{x\to 0^+} (x^2+1) = 0^2 + 1 = 1$ - $y(0) = 0^2 + 1 = 1$ Оскільки $\lim_{x\to 0^-} y \neq \lim_{x\to 0^+} y$, функція має розрив в точці $x=0$. 4. **Характер розриву в $x=0$:** Розрив першого роду (скачок), бо односторонні границі існують, але не рівні. 5. **Перевірка неперервності в точці $x=1$:** - $\lim_{x\to 1^-} y = \lim_{x\to 1^-} (x^2+1) = 1^2 + 1 = 2$ - $\lim_{x\to 1^+} y = \lim_{x\to 1^+} 2 = 2$ - $y(1) = 2$ Оскільки всі значення рівні, функція неперервна в точці $x=1$. 6. **Висновок:** Функція неперервна на всій області визначення, крім точки $x=0$, де має розрив першого роду (скачок). 7. **Графік:** - Для $x<0$ лінійна спадна лінія $y=-0.5x$ - Для $0\leq x<1$ парабола $y=x^2+1$ - Для $x\geq 1$ горизонтальна лінія $y=2$ Розрив у $x=0$ видно як стрибок від 0 (ліворуч) до 1 (праворуч).