1. مسئله: بررسی صحت معادله $$\sec x \frac{\partial w}{\partial x} + \sec y \frac{\partial w}{\partial y} = 1$$ برای تابع $$w = \sin y + f(\sin x - \cos y)$$ که در آن $$f$$ تابعی حقیقی مشتق‌پذیر است. 2. ابتدا مشتقات جزئی $$w$$ نسبت به $$x$$ و $$y$$ را محاسبه می‌کنیم. 3. مشتق جزئی نسبت به $$x$$: $$w_x = 0 + f'(\sin x - \cos y) \cdot \cos x$$ زیرا مشتق $$\sin x$$ نسبت به $$x$$ برابر $$\cos x$$ است و $$-\cos y$$ نسبت به $$x$$ صفر است. 4. مشتق جزئی نسبت به $$y$$: $$w_y = \cos y + f'(\sin x - \cos y) \cdot \sin y$$ زیرا مشتق $$\sin y$$ نسبت به $$y$$ برابر $$\cos y$$ است و مشتق $$-\cos y$$ نسبت به $$y$$ برابر $$\sin y$$ است (علامت منفی در داخل تابع باعث می‌شود مشتق $$-\cos y$$ برابر $$\sin y$$ شود). 5. حال معادله داده شده را جایگذاری می‌کنیم: $$\sec x \cdot w_x + \sec y \cdot w_y = \sec x \cdot f'(\sin x - \cos y) \cos x + \sec y (\cos y + f'(\sin x - \cos y) \sin y)$$ 6. ساده‌سازی: $$\sec x \cdot \cos x = 1$$ و $$\sec y \cdot \cos y = 1$$ بنابراین: $$= f'(\sin x - \cos y) + 1 + \sec y \cdot f'(\sin x - \cos y) \sin y$$ 7. توجه کنید که $$\sec y = \frac{1}{\cos y}$$ پس: $$\sec y \sin y = \frac{\sin y}{\cos y} = \tan y$$ 8. پس معادله به شکل زیر است: $$= f'(\sin x - \cos y) + 1 + f'(\sin x - \cos y) \tan y = 1 + f'(\sin x - \cos y)(1 + \tan y)$$ 9. برای اینکه معادله برابر 1 شود، باید عبارت: $$f'(\sin x - \cos y)(1 + \tan y) = 0$$ برای همه $$x,y$$ برقرار باشد. 10. این شرط به طور کلی برقرار نیست مگر اینکه: - $$f' = 0$$ برای همه ورودی‌ها (یعنی $$f$$ ثابت باشد) یا - $$1 + \tan y = 0$$ برای همه $$y$$ که امکان‌پذیر نیست. 11. بنابراین معادله داده شده به طور کلی نادرست است مگر اینکه $$f$$ تابعی ثابت باشد. نتیجه: معادله داده شده به طور کلی صحیح نیست مگر در حالت خاص $$f$$ ثابت باشد.