1. مسئله را بیان می‌کنیم: ما یک مستطیل با طول $x$ و عرض $y$ داریم که مساحت آن $A=320000$ است و می‌خواهیم مقدار $x$ و $y$ را پیدا کنیم که محیط (Fence) را به حداقل برساند. 2. فرمول‌های اصلی: مساحت: $$x \cdot y = 320000$$ محیط: $$Fence = 2x + y$$ 3. از مساحت، $y$ را بر حسب $x$ به دست می‌آوریم: $$y = \frac{320000}{x}$$ 4. جایگذاری $y$ در فرمول محیط: $$Fence = 2x + \frac{320000}{x}$$ 5. برای پیدا کردن مقدار $x$ که محیط را کمینه می‌کند، مشتق محیط نسبت به $x$ را محاسبه می‌کنیم: $$Fence' = 2 - \frac{320000}{x^2}$$ 6. مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم تا نقاط بحرانی را بیابیم: $$0 = 2 - \frac{320000}{x^2} \Rightarrow \frac{320000}{x^2} = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{320000}{2} = 160000$$ 7. مقدار $x$ را محاسبه می‌کنیم: $$x = \sqrt{160000} = 400$$ 8. مقدار $y$ را با جایگذاری $x=400$ در فرمول مساحت محاسبه می‌کنیم: $$y = \frac{320000}{400} = 800$$ 9. برای اطمینان از کمینه بودن، مشتق دوم محیط را محاسبه می‌کنیم: $$Fence'' = \frac{2 \cdot 320000}{x^3} = \frac{640000}{x^3}$$ با توجه به اینکه $x>0$، مشتق دوم مثبت است و بنابراین نقطه بحرانی کمینه است. نتیجه نهایی: طول $x=400$ و عرض $y=800$ است که محیط را به حداقل می‌رساند.