1. Trouver $\min_{x \in \mathbb{R}} \left[(x^2 - 1)^2 + 3\right]$ et $\operatorname{Argmin} \{(x^2 - 1)^2 + 3; x \in \mathbb{R}\}$. - L'expression est $f(x) = (x^2 - 1)^2 + 3$. - Comme $(x^2 - 1)^2 \geq 0$ toujours, la valeur minimale de $f$ est atteinte quand $(x^2 - 1)^2 = 0$. - Cela implique $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. - La valeur minimale est $f(\pm 1) = 0 + 3 = 3$. 2. Trouver $\min_{x > 0} (x + \frac{1}{x})$ et $\operatorname{Argmin} \{x + \frac{1}{x}; x > 0\}$. - Posons $g(x) = x + \frac{1}{x}$ pour $x > 0$. - Dérivons : $g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$. - $g'(x) = 0$ quand $x^2 = 1$, donc $x = 1$ (car $x > 0$). - La dérivée est négative pour $0 < x < 1$ et positive pour $x > 1$, donc $x=1$ est un minimum. - $g(1) = 1 + 1 = 2$. 3. Trouver $\min_{x \in \mathbb{R}} (x^6 - 3x^2)$ et $\operatorname{Argmin} \{x^6 - 3x^2; x \in \mathbb{R}\}$. - Posons $h(x) = x^6 - 3x^2$. - Dérivons : $h'(x) = 6x^5 - 6x = 6x(x^4 - 1)$. - Points critiques : $x=0$, $x=\pm 1$. - Calculons la dérivée seconde : $h''(x) = 30x^4 - 6$. - En $x=0$, $h''(0) = -6 < 0$ (maximum local). - En $x=\pm 1$, $h''(\pm 1) = 30 - 6 = 24 > 0$ (minimum local). - Evaluons $h$ en ces points : $h(0) = 0$, $h(\pm 1) = 1 - 3 = -2$. - Le minimum global est $-2$ atteint en $x=\pm 1$. 4. Trouver $\max_{x \in \mathbb{R}} \frac{x}{x^2 + 1}$ et $\operatorname{Argmax} \left\{ \frac{x}{x^2 + 1}; x \in \mathbb{R} \right\}$. - Posons $k(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. - Dérivons avec la règle du quotient : $$ k'(x) = \frac{(x^2+1)\cdot1 - x\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}. $$ - $k'(x) = 0$ quand $x^2 = 1$, soit $x= \pm 1$. - On teste la nature des points critiques : - Pour $x = 1$, $k(1) = \frac{1}{2}$. - Pour $x = -1$, $k(-1) = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$. - En $x=0$, $k(0) = 0$. - Pour $x \rightarrow \pm \infty$, $k(x) \to 0$. - Le maximum est donc $\frac{1}{2}$ en $x=1$. 5. Trouver $\sup_{x \geq 0} \frac{x}{x + 1}$ et $\operatorname{Argmax} \left\{ \frac{x}{x+1}; x \geq 0 \right\}$. - Posons $m(x) = \frac{x}{x+1}$ pour $x \geq 0$. - Lorsque $x \to +\infty$, $m(x) \to 1$. - La fonction est croissante car $$ m'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0. $$ - Le supremum est $1$, mais jamais atteint puisque $\frac{x}{x+1} < 1$ pour tout $x$. - Il n'y a pas de $x$ tel que $m(x) = 1$, donc pas de maximum. Réponses résumé : - (1) $\min = 3$ en $x = \pm 1$. - (2) $\min = 2$ en $x=1$. - (3) $\min = -2$ en $x = \pm 1$. - (4) $\max = \frac{1}{2}$ en $x=1$. - (5) $\sup = 1$ non atteint, Monotonie croissante.