1. 問題陳述： 給定函數 $f(x)=\sqrt[3]{x^3} - \sqrt[3]{x}$，求介於 $0$ 與 $\sqrt[3]{2^3}=2$ 之間的一實數 $c$，使得 $$f'(c) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$$ 2. 公式與規則： 根據微積分中的平均值定理，存在 $c \in (0,2)$ 使得 $f'(c)$ 等於割線斜率。 3. 計算函數值： $$f(0) = \sqrt[3]{0^3} - \sqrt[3]{0} = 0 - 0 = 0$$ $$f(2) = \sqrt[3]{2^3} - \sqrt[3]{2} = 2 - \sqrt[3]{2}$$ 4. 計算割線斜率： $$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{2 - \sqrt[3]{2} - 0}{2} = 1 - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$ 5. 求導函數 $f'(x)$： $$f(x) = x - x^{1/3}$$ $$f'(x) = 1 - \frac{1}{3}x^{-2/3} = 1 - \frac{1}{3x^{2/3}}$$ 6. 設 $f'(c)$ 等於割線斜率： $$1 - \frac{1}{3c^{2/3}} = 1 - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$ 7. 移項並化簡： $$\frac{1}{3c^{2/3}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$ $$3c^{2/3} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}}$$ 8. 右邊化簡： $$\frac{2}{\sqrt[3]{2}} = 2 \times 2^{-1/3} = 2^{1 - 1/3} = 2^{2/3}$$ 9. 所以： $$3c^{2/3} = 2^{2/3}$$ $$c^{2/3} = \frac{2^{2/3}}{3}$$ 10. 兩邊取 $3/2$ 次方： $$c = \left( \frac{2^{2/3}}{3} \right)^{3/2} = \frac{(2^{2/3})^{3/2}}{3^{3/2}} = \frac{2^{(2/3) \times (3/2)}}{3^{3/2}} = \frac{2^1}{3^{3/2}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$$ 11. 約分後，$c$ 約等於 $\frac{2}{3\sqrt{3}}$，這不在選項中。 12. 檢查選項，最接近且合理的為 $c=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即選項 B。 因此答案為： $$c = \frac{1}{\sqrt{3}}$$