1. Masalah: Hitung luas di bawah kurva menggunakan prosedur 3 langkah Riemann untuk grafik a dengan fungsi $f(x) = -x^2 + 4x$ pada interval $[1,4.5]$ dengan partisi $1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4.5$. 2. Langkah pertama: Sketsa dan partisi. Partisi membagi interval menjadi 5 subinterval: $[1,2], [2,2.5], [2.5,3], [3,3.5], [3.5,4.5]$. 3. Langkah kedua: Aproksimasi dan jumlahkan. Gunakan Riemann sum dengan titik kanan pada setiap subinterval: $$\text{Lebar tiap subinterval } \Delta x_i = x_{i+1} - x_i$$ Hitung nilai fungsi di titik kanan: $f(2) = -2^2 + 4\times 2 = -4 + 8 = 4$ $f(2.5) = -(2.5)^2 + 4\times 2.5 = -6.25 + 10 = 3.75$ $f(3) = -9 + 12 = 3$ $f(3.5) = -12.25 + 14 = 1.75$ $f(4.5) = -20.25 + 18 = -2.25$ Lebar tiap subinterval: $\Delta x_1 = 2 - 1 = 1$ $\Delta x_2 = 2.5 - 2 = 0.5$ $\Delta x_3 = 3 - 2.5 = 0.5$ $\Delta x_4 = 3.5 - 3 = 0.5$ $\Delta x_5 = 4.5 - 3.5 = 1$ Riemann sum: $$S = \sum f(x_i^*) \Delta x_i = 4 \times 1 + 3.75 \times 0.5 + 3 \times 0.5 + 1.75 \times 0.5 + (-2.25) \times 1$$ $$= 4 + 1.875 + 1.5 + 0.875 - 2.25 = 5.999999999999999 \approx 6$$ 4. Langkah ketiga: Tentukan limit dan integral. Integral dari $f(x)$ pada interval $[1,4.5]$ adalah: $$\int_1^{4.5} (-x^2 + 4x) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_1^{4.5}$$ Hitung batas atas: $$-\frac{(4.5)^3}{3} + 2(4.5)^2 = -\frac{91.125}{3} + 2 \times 20.25 = -30.375 + 40.5 = 10.125$$ Hitung batas bawah: $$-\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3} \approx 1.6667$$ Jadi luasnya: $$10.125 - 1.6667 = 8.4583$$ Kesimpulan: Aproksimasi Riemann sum mendekati 6, sedangkan nilai integral sebenarnya adalah sekitar 8.4583. --- 1. Masalah: Hitung luas di bawah kurva menggunakan prosedur 3 langkah Riemann untuk grafik b dengan fungsi $f(x) = x^2 - 4x + 3$ pada interval $[0.5,4]$ dengan partisi $0.5, 1, 1.5, 1.7, 2, 2.7, 3.5, 4$. 2. Langkah pertama: Sketsa dan partisi. Partisi membagi interval menjadi 7 subinterval. 3. Langkah kedua: Aproksimasi dan jumlahkan. Gunakan titik kanan pada setiap subinterval: Hitung nilai fungsi di titik kanan: $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ $f(1.5) = 2.25 - 6 + 3 = -0.75$ $f(1.7) = 2.89 - 6.8 + 3 = -0.91$ $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ $f(2.7) = 7.29 - 10.8 + 3 = -0.51$ $f(3.5) = 12.25 - 14 + 3 = 1.25$ $f(4) = 16 - 16 + 3 = 3$ Lebar tiap subinterval: $\Delta x_1 = 1 - 0.5 = 0.5$ $\Delta x_2 = 1.5 - 1 = 0.5$ $\Delta x_3 = 1.7 - 1.5 = 0.2$ $\Delta x_4 = 2 - 1.7 = 0.3$ $\Delta x_5 = 2.7 - 2 = 0.7$ $\Delta x_6 = 3.5 - 2.7 = 0.8$ $\Delta x_7 = 4 - 3.5 = 0.5$ Riemann sum: $$S = 0 \times 0.5 + (-0.75) \times 0.5 + (-0.91) \times 0.2 + (-1) \times 0.3 + (-0.51) \times 0.7 + 1.25 \times 0.8 + 3 \times 0.5$$ $$= 0 - 0.375 - 0.182 - 0.3 - 0.357 + 1 + 1.5 = 1.286$$ 4. Langkah ketiga: Tentukan limit dan integral. Integral dari $f(x)$ pada interval $[0.5,4]$ adalah: $$\int_{0.5}^4 (x^2 - 4x + 3) dx = \left[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{0.5}^4$$ Hitung batas atas: $$\frac{64}{3} - 2 \times 16 + 12 = 21.3333 - 32 + 12 = 1.3333$$ Hitung batas bawah: $$\frac{0.125}{3} - 2 \times 0.25 + 1.5 = 0.0417 - 0.5 + 1.5 = 1.0417$$ Jadi luasnya: $$1.3333 - 1.0417 = 0.2916$$ Kesimpulan: Aproksimasi Riemann sum sekitar 1.286, sedangkan nilai integral sebenarnya sekitar 0.2916. --- Jawaban lengkap untuk kedua grafik sudah diberikan sesuai prosedur 3 langkah Riemann.