1. نبدأ بكتابة المتراجحة المعطاة: $$\ln(\ln x)' > 0$$. 2. نوجد مشتقة الدالة $$y = \ln(\ln x)$$ باستخدام قاعدة السلسلة: $$y' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}$$. 3. نريد أن تكون المشتقة موجبة، أي: $$\frac{1}{x \ln x} > 0$$. 4. لأن البسط 1 موجب دائماً، فإن إشارة الكسر تعتمد على المقام $$x \ln x$$. 5. إذن: $$x \ln x > 0$$. 6. نحل المتراجحة: - $$x > 0$$ لأن $$\ln x$$ معرف فقط ل $$x > 0$$. - $$\ln x > 0 \Rightarrow x > 1$$. 7. بالتالي: $$x > 1$$. 8. إذن مجموعة الحلول هي $$]1, +\infty[$$. النتيجة: مجموعة حلول المتراجحة $$\ln(\ln x)' > 0$$ هي $$x > 1$$ أي من 1 إلى ما لا نهاية.