1. \textbf{المسألة:} لدينا الدالة $$f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$$ ونريد حساب الحدود التالية: $$\lim_{x \to -\infty} f(x), \quad \lim_{x \to 0^-} f(x), \quad \lim_{x \to 0^+} f(x), \quad \lim_{x \to +\infty} f(x)$$ 2. \textbf{صيغة الدالة المبسطة:} من المعطى أن $$f(x) = x + \frac{1}{x+1}$$ وهذا صحيح لكل $$x \neq -1$$ حيث الدالة غير معرفة. 3. \textbf{حساب الحد عند $$x \to -\infty$$:} عندما $$x$$ يذهب إلى سالب ما لا نهاية، الحد $$\frac{1}{x+1} \to 0$$ لأن المقام يزداد بالسالب. إذاً: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(x + \frac{1}{x+1}\right) = -\infty$$ 4. \textbf{حساب الحد عند $$x \to 0^-$$:} عندما $$x$$ يقترب من الصفر من اليسار، يكون $$x+1 > 0$$ لأن $$0^- + 1 = 1 > 0$$. إذاً: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 + \frac{1}{1} = 1$$ 5. \textbf{حساب الحد عند $$x \to 0^+$$:} بنفس الطريقة، عند الاقتراب من الصفر من اليمين: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + \frac{1}{1} = 1$$ 6. \textbf{حساب الحد عند $$x \to +\infty$$:} عندما $$x$$ يذهب إلى موجب ما لا نهاية، الحد $$\frac{1}{x+1} \to 0$$. إذاً: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ 7. \textbf{الحدود عند النقطة $$x = -1$$:} من المعطى: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$$ \textbf{النتيجة النهائية:} $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$