1. **بيان المسألة:** ندرس الدالة $$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x-1}$$ ونحسب النهايات التالية: - $$\lim_{x \to +\infty} f(x)$$ - $$\lim_{x \to 1^+} f(x)$$ - $$\lim_{x \to 1^-} f(x)$$ 2. **مجال تعريف الدالة:** - يجب أن يكون المقام $$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$ - ويجب أن يكون داخل الجذر غير سالب: $$x^2 + x \geq 0 \Rightarrow x(x+1) \geq 0$$ - هذا يتحقق عندما $$x \leq -1$$ أو $$x \geq 0$$ - إذن مجال تعريف الدالة هو $$D_f = (-\infty, -1] \cup [0,1) \cup (1, +\infty)$$ 3. **حساب النهايات:** - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x-1}$$ نقسم البسط والمقام على $$x$$ (لأن $$x > 0$$ عند الاقتراب من $$+\infty$$): $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1+0}}{1-0} = 1$$ - $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x-1}$$ عند $$x \to 1^+$$، المقام يقترب من الصفر موجب، والبسط يقترب من $$\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ موجب. إذاً: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$$ - $$\lim_{x \to 1^-} f(x)$$ غير معرف لأن $$x=1$$ ليس في مجال التعريف من اليسار (بين 0 و1)، لكن 1 غير مشمول في المجال من اليسار، لذا لا يوجد حد من اليسار عند 1. 4. **النتيجة النهائية:** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$$ $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1^-} f(x) \text{ غير معرف}$$