1. **حساب النهايات:** أ) $$A=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt[3]{x^2+1}}$$ - نقسم البسط والمقام على $$x^{2/3}$$ لنحصل على: $$A=\lim_{x\to+\infty}\frac{x/x^{2/3}}{\sqrt[3]{x^2+1}/x^{2/3}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{1/3}}{\sqrt[3]{1+1/x^2}}=\lim_{x\to+\infty}x^{1/3}=+\infty$$ ب) $$B=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x})$$ - نضرب في حاصل جمع الفرق لحذف الجذور: $$=(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}) \cdot \frac{(\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x(x+1)} + \sqrt[3]{x^2})}{(\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x(x+1)} + \sqrt[3]{x^2})}$$ - الناتج: $$=\lim_{x\to+\infty} \frac{(x+1)-x}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x(x+1)}+\sqrt[3]{x^2}}=\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}=0$$ ج) $$C=\lim_{x\to1} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}-1}$$ - نلاحظ أن عندما $$x \to 1$$ البسط والمقام يذهبان إلى 0، نستخدم القاعدة: $$\frac{a^3 - b^3}{a - b} = a^2 + ab + b^2$$ - نعوض $$a=\sqrt[3]{x}$$ و$$b=1$$: $$C=\lim_{x\to1} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}-1}= \lim_{a\to1} \frac{a^3 -1}{a -1} = 1^2 + 1 \times 1 + 1^2 = 3$$ 2. **دراسة الاتصال عند $$x_0=0$$:** أ) للدالة: $$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} -1}{x}, x \neq 0 \quad \text{و} \quad f(0)=0$$ - ندرس النهاية من جهة الصفر: $$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2 +1} -1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{x^2 +1} -1)(\sqrt{x^2 +1}+1)}{x (\sqrt{x^2 +1}+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x(\sqrt{x^2 +1} +1)} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 +1} +1} = 0$$ - إذن الدالة متصلة في $$x=0$$ لأن $$f(0)=0$$ ب) للدالة: $$f(x) = \frac{|x|}{x} +1, x \neq 0 \quad \text{و} \quad f(0)=2$$ - من جهة $$x \to 0^+$$، $$f(x) \to 1 +1=2$$ - من جهة $$x \to 0^-$$، $$f(x) \to (-1) +1=0$$ - لا توجد نهاية موحدة عند $$x=0$$، إذن الدالة غير متصلة في 0 3. **دراسة الدالة في $$I=]0; +\infty[$، $$ f(x) = \frac{1+x^2}{1-x^2}$$** - المجال هو $$x \in ]0; +\infty[$ مع استثناء النقاط التي تجعل المقام صفر، أي $$x=1$$ ليس ضمن المجال 4. **دالة قطعة المتغيرات على $$[0;3]$$:** - $$f(x) = \sqrt{3x} + x^2, x \in [0; 1[ $$ - $$f(x) = \frac{3x-1}{x}, x \in [1; 3]$$ 5. **تمرين 2:** 1- المعادلة $$2x^3 + 2x -1=0$$ في $$[0; 2]$$ - ندرس تغير الدالة $$g(x)=2x^3 +2x-1$$ في هذا المجال. - $$g'(x) = 6x^2 +2 > 0$$ لكل $$x$$ - الدالة متزايدة ومن $$g(0) = -1 < 0$$ و$$g(2) = 2(8)+4 -1 = 19 > 0$$ - إذن توجد جذر وحيد في $$[0;2]$$ 2- للدالة $$f(x)=x^2 - 2x -1$$ أ) جدول التغيرات: - $$f'(x)=2x - 2 = 0 \implies x=1$$ - للدالة قيم حرجة عند $$x=1$$ - ندرس الإشارة: - لـ $$x<1$$، $$f'(x)<0$$ الدالة ناقصة - لـ $$x>1$$، $$f'(x)>0$$ الدالة متزايدة ب) تحديد الصور: - $$f( -5) = 25 + 10 -1=34$$ - $$f(0) = -1$$, $$f(4) = 16 -8 -1=7$$ - صور المجالات: - $$]-\infty, -5] \rightarrow ]-\infty, 34]$$ - $$[0,4[ \rightarrow [-1, 7[ $$ ج) على المجال $$[2, +\infty[,$$ الدالة متزايدة لأن $$f'(x)>0$$ - إذن الدالة تقبل دالة عكسية - نطاق $$J = [f(2), +\infty[ = [2^2-4-1, +\infty[ = [ -1, +\infty[ $$ - الدالة العكسية $$k^{-1}$$ تحلها بالمعادلة: $$ y = x^2 - 2x -1 \Rightarrow x^2 - 2x - (1+y) =0$$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4(1 + y)}}{2} = 1 \pm \sqrt{y + 2} $$ - على المجال $$x 6 6 2,$$ نأخذ الجذر الموجب: $$k^{-1}(y) = 1 + \sqrt{y + 2}$$ 6. **تمرين 3:** مع الدالة $$f(x) = \frac{2x^3}{x^3 -1}$$ مع $$x \in ]1, +\infty[ $$ 1) أ- إثبات: $$ f(x) = 2 + \frac{2}{x^3 -1}$$ - الآن: $$f(x) = \frac{2x^3}{x^3 -1} = \frac{2(x^3-1) + 2}{x^3 -1} = 2 + \frac{2}{x^3 -1}$$ ب- دراسة تناقص الدالة: - مشتقة الدالة: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 + \frac{2}{x^3 -1} \right) = -2 \frac{3x^2}{(x^3 -1)^2} = - \frac{6x^2}{(x^3 -1)^2} < 0$$ - إذن الدالة تناقصية على $$]1, +\infty[$ ج- بما أن الدالة متناقصة ومستمرة فهي تحقق شرط وجود عكسية محددة على المجال. 2) أ- جدول التغيرات للدالة العكسية $$f^{-1}$$ يعتمد على تغيرات $$f$$ وهو عكسي. ب- إيجاد تعبير عكسي: نفرض $$y = \frac{2x^3}{x^3 -1}$$ - نكتب: $$y(x^3 -1) = 2 x^3$$ $$y x^3 - y = 2 x^3$$ $$x^3 (y - 2) = y$$ $$x^3 = \frac{y}{y - 2}$$ مع $$y \neq 2$$ - الآن: $$f^{-1}(y) = \sqrt[3]{\frac{y}{y -2}}$$ مع $$y \in J = f(]1, +\infty[) = ]2, +\infty[$ ---