1. **نص المسألة:** لدينا الدالة $$f(x) = x + 1 - \frac{e^x}{e^x - 1}$$ ونريد حساب الحدود التالية: - $$\lim_{x \to 0^-} f(x)$$ - $$\lim_{x \to 0^+} f(x)$$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ (معطى) - $$\lim_{x \to -\infty} f(x)$$ كما ندرس الدالة $$h(x) = f(|x|)$$ والمعادلة $$ (m - 1)(e^x - 1)e^{-x} + 1 = 0 $$ لإيجاد عدد الحلول حسب المعامل $$m$$. 2. **تبسيط الدالة:** نلاحظ أن $$f(x) = x + 1 - \frac{e^x}{e^x - 1} = x - \frac{1}{e^x - 1}$$ لأن $$x + 1 - \frac{e^x}{e^x - 1} = x + 1 - \left(1 + \frac{1}{e^x - 1}\right) = x - \frac{1}{e^x - 1}$$ 3. **حساب النهاية عند الصفر من اليسار:** عندما $$x \to 0^-$$، يكون $$e^x - 1 \to 0^-$$ لأن $$e^0 = 1$$ والدالة الأسية مستمرة ومتزايدة. إذاً: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(x - \frac{1}{e^x - 1}\right) = 0 - \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{e^x - 1}$$ وبما أن المقام يقترب من صفر سالب، فإن الكسر يذهب إلى $$-\infty$$، إذن: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$$ 4. **حساب النهاية عند الصفر من اليمين:** عندما $$x \to 0^+$$، يكون $$e^x - 1 \to 0^+$$، إذن: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{e^x - 1} = -\infty$$ 5. **حساب النهاية عند المالانهاية السالبة:** عندما $$x \to -\infty$$، فإن $$e^x \to 0$$، إذن: $$e^x - 1 \to -1$$ وبالتالي: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(x - \frac{1}{e^x - 1}\right) = -\infty - \frac{1}{-1} = -\infty + 1 = -\infty$$ 6. **الدالة $$h(x) = f(|x|)$$:** تعني أن الدالة $$h$$ متناظرة حول محور الصادات لأننا نأخذ القيمة المطلقة للمتغير. 7. **حل المعادلة $$ (m - 1)(e^x - 1)e^{-x} + 1 = 0 $$:** نبدأ بتبسيط المعادلة: $$ (m - 1)(e^x - 1)e^{-x} + 1 = 0 $$ نوزع $$e^{-x}$$: $$ (m - 1)(1 - e^{-x}) + 1 = 0 $$ نفتح الأقواس: $$ (m - 1) - (m - 1)e^{-x} + 1 = 0 $$ نجمع الثوابت: $$ m - 1 + 1 - (m - 1)e^{-x} = 0 \Rightarrow m - (m - 1)e^{-x} = 0 $$ نرتب المعادلة: $$ m = (m - 1)e^{-x} $$ نقسم على $$m - 1$$ (مع افتراض $$m \neq 1$$): $$ \frac{m}{m - 1} = e^{-x} $$ نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: $$ -x = \ln \left( \frac{m}{m - 1} \right) \Rightarrow x = - \ln \left( \frac{m}{m - 1} \right) $$ 8. **عدد الحلول حسب $$m$$:** - إذا كان $$m = 1$$، المعادلة تصبح $$1 = 0$$ وهذا مستحيل، إذن لا حلول. - إذا كان $$m \neq 1$$، يوجد حل وحيد معطى بالمعادلة أعلاه. **النتائج النهائية:** - $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$$ - $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ (معطى) - $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ - الدالة $$h(x) = f(|x|)$$ متناظرة حول محور الصادات. - المعادلة $$ (m - 1)(e^x - 1)e^{-x} + 1 = 0 $$ لها حل وحيد إذا $$m \neq 1$$، ولا حلول إذا $$m = 1$$.