1. سنبدأ بحساب حدود التمرين 01 (limits). 1.1. لحساب $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3}}{x + 1}$$ نقسم البسط والمقام على $$x$$ لأن $$x \to +\infty$$ كبير جدًا: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3}}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2(1 - \frac{3}{x^2})}}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}}}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}}}{1 + \frac{1}{x}}$$ بحيث عندما $$x \to +\infty$$ فإن $$\frac{3}{x^2} \to 0$$ و$$\frac{1}{x} \to 0$$، إذن: $$= \frac{\sqrt{1 - 0}}{1 + 0} = 1$$ 1.2. لحساب $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x^2 - 4}$$ نلاحظ أن تعويض $$x=2$$ يعطينا الشكل $$\frac{0}{0}$$، إذا نستخدم ضرب وتوسيع البسط بالمرافق: $$\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x^2 - 4} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} + 1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{x - 1 - 1}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)} = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)} = \frac{1}{(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}$$ بتعويض $$x=2$$ مباشرة: $$\frac{1}{(2 + 2)(\sqrt{2 - 1} + 1)} = \frac{1}{4 \times (1 + 1)} = \frac{1}{8}$$ 1.3. $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2} + 2x + 3} - x)$$ نضرب بالبسط والمقام بالمرافق للتخلص من الجذر: $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2x + 3} - x)(\sqrt{x^{2} + 2x + 3} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2x + 3} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2} + 2x + 3 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2x + 3} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2x + 3} + x}$$ نقسم البسط والمقام على $$x$$: $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + 1} = \frac{2 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{2}{2} = 1$$ 1.4. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x + x^{2}}$$ نقسم المقام على $$x$$ (غير صفرية بجانب الصفر): $$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x (3 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x / x}{3 + x} = \frac{1}{3 + 0} = \frac{1}{3}$$ 1.5. $$\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x$$ هذه هي نهاية الأساس للعدد الطبيعي، النتيجة: $$= e$$ 1.6. $$\lim_{x \to 6} \frac{\sin x}{2} - 7 = \frac{\sin 6}{2} - 7$$ نحسب القيمة العددية \(\sin 6\) بالراديان أو تقريبا. 1.7. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2}{2x + 1} x^{2} = \lim_{x \to +\infty} x^{2} \cdot \frac{x + 2}{2x + 1}$$ نقسم البسط والمقام للكسر على $$x$$: $$= \lim_{x \to +\infty} x^{2} \cdot \frac{1 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} x^{2} \cdot \frac{1}{2} = +\infty$$ 1.8. $$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - e^{x})\sin x}{x^{2} + x^{3}}$$ عند التعويض المباشر نحصل على الشكل $$\frac{0}{0}$$ لذلك نستخدم التوسيع: نستخدم تقريبات: $$1 - e^{x} \approx -x$$ $$\sin x \approx x$$ إذًا: $$\frac{-x \cdot x}{x^{2} + x^{3}} = \frac{-x^{2}}{x^{2}(1 + x)} = \frac{-1}{1 + 0} = -1$$ 2. المشتقات: 2.1. $$f(x) = \sqrt[5]{x \sqrt{x}} = (x x^{1/2})^{1/5} = x^{3/2 \cdot 1/5} = x^{3/10}$$ المشتقة: $$f'(x) = \frac{3}{10} x^{\frac{3}{10} - 1} = \frac{3}{10} x^{-\frac{7}{10}}$$ 2.2. $$f(x) = \ln(\ln x)$$ المشتقة: $$f'(x) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}$$ 2.3. $$f(x) = \sin(\cos x)$$ المشتقة: $$f'(x) = \cos(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\cos(\cos x) \sin x$$ 2.4. $$f(x) = x e^{\sin x}$$ المشتقة باستخدام قاعدة الضرب: $$f'(x) = e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x = e^{\sin x} (1 + x \cos x)$$ 2.5. $$f(x) = (\frac{1}{1 - x})^{x} = e^{x \ln(\frac{1}{1 - x})} = e^{-x \ln(1 - x)}$$ المشتقة: نطبق قاعدة مشتقة الأس: $$f'(x) = f(x) \cdot \frac{d}{dx} (-x \ln(1 - x)) = f(x) (- \ln(1 - x) - \frac{x}{1 - x})$$ 2.6. $$f(x) = e^{\sin^{2}(\frac{1}{x})}$$ المشتقة: $$f'(x) = f(x) \cdot 2 \sin(\frac{1}{x}) \cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^{2}}) = -\frac{2 \sin(\frac{1}{x}) \cos(\frac{1}{x})}{x^{2}} e^{\sin^{2}(\frac{1}{x})}$$ 3. قواعد هوبيتال (L'Hôpital's rule) لحساب حدود التمرين 03: 3.1. $$\lim_{x \to 2} \frac{e^{x} - e^{2}}{x^{2} + x - 6}$$ الشكل $$\frac{0}{0}$$، مشتقة البسط والمقام: $$\frac{e^{x}}{2x + 1}$$ عند $$x=2$$: $$= \frac{e^{2}}{5}$$ 3.2. $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}$$ الشكل $$\frac{0}{0}$$، مشتقة البسط والمقام: $$\frac{\sin x}{\sin x + x \cos x}$$ عند $$x=0$$: $$\frac{0}{0 + 1 \times 1} = 0$$ 3.3. $$\lim_{x \to 5} (6 - x)^{\frac{1}{x - 5}}$$ نعيد كتابة: $$= e^{\lim_{x \to 5} \frac{\ln(6 - x)}{x - 5}}$$ الشكل $$\frac{-\infty}{0}$$ غير واضح مباشر، نستخدم التغيير: نستخدم قاعدة هوبيتال لحساب النسبة: $$ \lim_{x \to 5} \frac{\ln(6-x)}{x-5}$$ مشتقة البسط: $$-\frac{1}{6-x}$$ مشتقة المقام: $$1$$ إذا: $$= \lim_{x \to 5} -\frac{1}{6-x} = -\frac{1}{1} = -1$$ إذن الحد هو: $$ e^{-1} = \frac{1}{e}$$ 3.4. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 10^{x}}{1 + 10^{x+1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 10^{x}}{1 + 10 \cdot 10^{x}}$$ نقسم البسط والمقام على $$10^{x}$$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{10^{x}} - 1}{\frac{1}{10^{x}} + 10} = \frac{0 - 1}{0 + 10} = -\frac{1}{10}$$ 3.5. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 15x - \sin 10x}{\sin 10x}$$ باستخدام هوية الفرق: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(\frac{15x + 10x}{2}) \sin(\frac{15x - 10x}{2})}{\sin 10x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(12.5x) \sin(2.5x)}{\sin 10x}$$ نستخدم التقريبات عند $$x \to 0$$: $$\cos(12.5x) \to 1, \sin(ax) \approx ax$$ إذا: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 \cdot 2.5x}{10x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{10x} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$ شرح هذه الخطوات يتم بصورة مفصلة وباللغة العربية لكل مسألة، ويمكن تفصيل أي جزء حسب الطلب.