1. **بيان المسألة:** نريد حساب حدود الدوال التالية عند النقاط المحددة. 2. **الحد الأول:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3}}{x + 1}$$ نقسم البسط والمقام على $x$: $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1 - 0}}{1 + 0} = 1$$ 3. **الحد الثاني:** $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x^2 - 4}$$ نلاحظ أن البسط والمقام يقتربان من صفر، نستخدم ضرب البسط والمقام في المرافق: $$= \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x - 1} - 1)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x^2 - 4)(\sqrt{x - 1} + 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 1 - 1}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}$$ $$= \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)} = \frac{1}{4 \times 2} = \frac{1}{8}$$ 4. **الحد الثالث:** $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 2x + 3} - x$$ نكتب الجذر كالتالي: $$= \lim_{x \to +\infty} x \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} - x = x \left(\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} - 1\right)$$ نضرب ونقسم على المرافق: $$= \lim_{x \to +\infty} x \frac{\left(1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}\right) - 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} x \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1} = \frac{2}{2} = 1$$ 5. **الحد الرابع:** $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x + x^2}$$ نقسم البسط والمقام على $x$: $$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{3 + x} = \frac{1}{3}$$ 6. **الحد الخامس:** $$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$ 7. **الحد السادس:** $$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{4 \cos^2 x - 3}$$ نستخدم التعويض المباشر: $$= \frac{\sin \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}}{4 \cos^2 \frac{\pi}{6} - 3} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{4 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3} = \frac{0}{4 \times \frac{3}{4} - 3} = \frac{0}{3 - 3} = \frac{0}{0}$$ نطبق قاعدة لوبيتال: المشتقة للبسط: $$\cos x$$ المشتقة للمقام: $$8 \cos x (-\sin x) = -8 \cos x \sin x$$ الحد يصبح: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{-8 \cos x \sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{1}{-8 \sin x} = \frac{1}{-8 \times \frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}$$ 8. **الحد السابع:** $$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x + 2}{2x + 1}\right)^{x^2}$$ نكتب الأساس كالتالي: $$= \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x + 2}{2x + 1}\right)^{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x}}\right)^{x^2}$$ الأساس يقترب من $\frac{1}{2}$، والاس هو $x^2$ الذي يذهب إلى اللانهاية، إذن الحد يذهب إلى صفر: $$= 0$$ 9. **الحد الثامن:** $$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - e^x) \sin x}{x^2 + x^3}$$ نستخدم تقريبات: $$1 - e^x \approx -x - \frac{x^2}{2}, \quad \sin x \approx x$$ البسط: $$\approx (-x) \times x = -x^2$$ المقام: $$x^2 + x^3 = x^2(1 + x) \approx x^2$$ الحد: $$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{x^2} = -1$$ **النتيجة النهائية:** $$\boxed{1, \frac{1}{8}, 1, \frac{1}{3}, e, -\frac{1}{4}, 0, -1}$$ شرح طريقة الحل بالعربية: - نبدأ بتبسيط التعبيرات داخل الحدود. - نستخدم القسمة على أعلى قوة في المتغير عند اللانهاية. - نستخدم ضرب المرافق لتبسيط التعبيرات التي تحتوي على جذور. - نطبق قاعدة لوبيتال عندما نحصل على شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$. - نستخدم تقريبات الدوال عند الصفر مثل $\sin x \approx x$ و $e^x \approx 1 + x$. - نحلل سلوك الدوال عند اللانهاية أو النقاط المحددة للحصول على القيمة النهائية للحد.