1. مسئله را بیان می‌کنیم: مقدار $a$ را در معادله $$\frac{4}{3} = \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} a \left(-\frac{2}{x^3}\right) + 2x \over 4x - \frac{1}{x}$$ می‌خواهیم پیدا کنیم. 2. ابتدا صورت و مخرج کسر را جداگانه بررسی می‌کنیم: صورت: $$a \left(-\frac{2}{x^3}\right) + 2x = -\frac{2a}{x^3} + 2x$$ مخرج: $$4x - \frac{1}{x}$$ 3. حال حد را برای $x \to \frac{1}{2}^+$ محاسبه می‌کنیم: صورت حد: $$-\frac{2a}{(\frac{1}{2})^3} + 2 \times \frac{1}{2} = -\frac{2a}{\frac{1}{8}} + 1 = -2a \times 8 + 1 = -16a + 1$$ مخرج حد: $$4 \times \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 - 2 = 0$$ 4. چون مخرج حد صفر می‌شود، برای وجود حد باید صورت نیز به صفر میل کند: $$-16a + 1 = 0 \implies 16a = 1 \implies a = \frac{1}{16}$$ 5. حال با $a = \frac{1}{16}$، حد را با استفاده از قاعده لُپیتال محاسبه می‌کنیم: صورت: $$f(x) = -\frac{2a}{x^3} + 2x = -\frac{2 \times \frac{1}{16}}{x^3} + 2x = -\frac{1}{8x^3} + 2x$$ مخرج: $$g(x) = 4x - \frac{1}{x}$$ مشتق‌ها: $$f'(x) = \frac{3}{8x^4} + 2$$ $$g'(x) = 4 + \frac{1}{x^2}$$ حد مشتق‌ها در $x = \frac{1}{2}$: $$f'(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8 \times (\frac{1}{2})^4} + 2 = \frac{3}{8 \times \frac{1}{16}} + 2 = \frac{3}{\frac{1}{2}} + 2 = 6 + 2 = 8$$ $$g'(\frac{1}{2}) = 4 + \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4 + 4 = 8$$ 6. بنابراین حد برابر است با: $$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\frac{1}{2})}{g'(\frac{1}{2})} = \frac{8}{8} = 1$$ 7. اما در مسئله حد برابر با $\frac{4}{3}$ داده شده است. پس باید بررسی کنیم که آیا اشتباهی در محاسبات است یا خیر. 8. بازبینی: صورت حد اولیه: $$-16a + 1$$ مخرج حد اولیه: $$0$$ برای وجود حد، صورت باید صفر شود: $$-16a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{16}$$ با این مقدار $a$، حد به صورت نامعین $\frac{0}{0}$ است و می‌توان از قاعده لُپیتال استفاده کرد. 9. مشتق صورت: $$f(x) = -\frac{2a}{x^3} + 2x$$ $$f'(x) = 6a \frac{1}{x^4} + 2$$ با $a=\frac{1}{16}$: $$f'(x) = 6 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{x^4} + 2 = \frac{3}{8x^4} + 2$$ مشتق مخرج: $$g(x) = 4x - \frac{1}{x}$$ $$g'(x) = 4 + \frac{1}{x^2}$$ 10. حد مشتق‌ها در $x=\frac{1}{2}$: $$f'(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8 \times (\frac{1}{2})^4} + 2 = \frac{3}{8 \times \frac{1}{16}} + 2 = \frac{3}{\frac{1}{2}} + 2 = 6 + 2 = 8$$ $$g'(\frac{1}{2}) = 4 + \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4 + 4 = 8$$ 11. بنابراین حد: $$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{8}{8} = 1$$ 12. اما مقدار داده شده $\frac{4}{3}$ است، پس مقدار $a$ باید طوری باشد که حد برابر $\frac{4}{3}$ شود. 13. برای این کار، فرض کنیم حد وجود دارد و برابر $\frac{4}{3}$ است. چون مخرج در $x=\frac{1}{2}$ صفر است، صورت نیز باید صفر شود: $$-\frac{2a}{(\frac{1}{2})^3} + 2 \times \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow -16a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{16}$$ 14. با $a=\frac{1}{16}$ حد برابر 1 می‌شود، پس باید از قاعده لُپیتال مرتبه دوم استفاده کنیم. 15. مشتق دوم صورت: $$f''(x) = -\frac{12a}{x^5}$$ با $a=\frac{1}{16}$: $$f''(x) = -\frac{12}{16 x^5} = -\frac{3}{4 x^5}$$ مشتق دوم مخرج: $$g''(x) = -\frac{2}{x^3}$$ 16. حد مشتق دوم‌ها در $x=\frac{1}{2}$: $$f''(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4 \times (\frac{1}{2})^5} = -\frac{3}{4 \times \frac{1}{32}} = -\frac{3}{\frac{1}{8}} = -24$$ $$g''(\frac{1}{2}) = -\frac{2}{(\frac{1}{2})^3} = -\frac{2}{\frac{1}{8}} = -16$$ 17. حد مرتبه دوم: $$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{-24}{-16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$$ 18. این مقدار با مقدار داده شده $\frac{4}{3}$ متفاوت است. پس فرضیات اولیه باید اصلاح شود. 19. راه حل صحیح: چون حد برابر $\frac{4}{3}$ است، معادله حد را به صورت زیر می‌نویسیم: $$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{a \left(-\frac{2}{x^3}\right) + 2x}{4x - \frac{1}{x}} = \frac{4}{3}$$ 20. صورت و مخرج را به صورت تابع $f(x)$ و $g(x)$ تعریف می‌کنیم: $$f(x) = -\frac{2a}{x^3} + 2x$$ $$g(x) = 4x - \frac{1}{x}$$ 21. چون $g(\frac{1}{2}) = 0$، برای وجود حد باید $f(\frac{1}{2}) = 0$ باشد: $$-\frac{2a}{(\frac{1}{2})^3} + 2 \times \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow -16a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{16}$$ 22. با $a=\frac{1}{16}$، حد به صورت نامعین $\frac{0}{0}$ است، پس از قاعده لُپیتال استفاده می‌کنیم: $$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ 23. مشتق‌ها: $$f'(x) = \frac{6a}{x^4} + 2 = \frac{6 \times \frac{1}{16}}{x^4} + 2 = \frac{3}{8x^4} + 2$$ $$g'(x) = 4 + \frac{1}{x^2}$$ 24. حد مشتق‌ها در $x=\frac{1}{2}$: $$f'(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8 \times (\frac{1}{2})^4} + 2 = \frac{3}{8 \times \frac{1}{16}} + 2 = \frac{3}{\frac{1}{2}} + 2 = 6 + 2 = 8$$ $$g'(\frac{1}{2}) = 4 + \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4 + 4 = 8$$ 25. بنابراین حد برابر است با: $$\frac{f'(\frac{1}{2})}{g'(\frac{1}{2})} = \frac{8}{8} = 1$$ 26. اما مقدار داده شده $\frac{4}{3}$ است، پس باید مقدار $a$ را طوری تعیین کنیم که این حد برابر $\frac{4}{3}$ شود. 27. فرض کنیم $a$ مقدار دیگری است و حد وجود دارد. چون مخرج در $x=\frac{1}{2}$ صفر است، صورت نیز باید صفر شود: $$-\frac{2a}{(\frac{1}{2})^3} + 2 \times \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow -16a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{16}$$ 28. پس $a=\frac{1}{16}$ تنها مقداری است که حد وجود دارد، ولی حد برابر 1 می‌شود نه $\frac{4}{3}$. 29. نتیجه: مقدار $a$ برابر $\frac{1}{16}$ است که حد را به 1 می‌رساند، نه $\frac{4}{3}$. بنابراین یا مسئله اشتباه است یا مقدار $\frac{4}{3}$ اشتباه داده شده است. پاسخ نهایی: $$a = \frac{1}{16}$$