1. مسئله: باید حد $$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \left[1 + \sin^2 \left(\frac{2\pi}{x}\right)\right]$$ را محاسبه کنیم. 2. فرمول و نکات مهم: تابع $$\sin^2(\theta)$$ همیشه بین 0 و 1 قرار دارد، یعنی $$0 \leq \sin^2(\theta) \leq 1$$. 3. بنابراین عبارت داخل کروشه بین $$1$$ و $$2$$ است، چون $$1 + \sin^2(\cdot)$$ حداقل 1 و حداکثر 2 است. 4. پس داریم: $$\sqrt{x} \leq \sqrt{x} \left[1 + \sin^2 \left(\frac{2\pi}{x}\right)\right] \leq 2\sqrt{x}$$ 5. وقتی $$x \to 0^+$$، مقدار $$\sqrt{x} \to 0$$ و همچنین $$2\sqrt{x} \to 0$$. 6. طبق قضیه فشردگی (Squeeze Theorem)، چون عبارت مورد نظر بین دو عبارت همگرا به صفر است، حد آن نیز صفر می‌شود. نتیجه نهایی: $$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \left[1 + \sin^2 \left(\frac{2\pi}{x}\right)\right] = 0$$