1. مسئله را بیان می‌کنیم: می‌خواهیم حد عبارت $$\lim_{n \to 3} \frac{\sqrt{5n + 1}}{3n - n^2}$$ را محاسبه کنیم. 2. ابتدا مقدار تابع را در نقطه $n=3$ جایگذاری می‌کنیم تا ببینیم آیا مقدار مشخص است یا نامعین: $$\frac{\sqrt{5(3) + 1}}{3(3) - 3^2} = \frac{\sqrt{15 + 1}}{9 - 9} = \frac{\sqrt{16}}{0} = \frac{4}{0}$$ صورت عددی است ولی مخرج صفر است، پس حد ممکن است بی‌نهایت یا وجود نداشته باشد. 3. برای بررسی رفتار حد، مخرج را فاکتورگیری می‌کنیم: $$3n - n^2 = n(3 - n)$$ 4. حال رفتار عبارت را وقتی $n$ به 3 نزدیک می‌شود از چپ و راست بررسی می‌کنیم: - وقتی $n \to 3^-$، یعنی $n$ کمی کمتر از 3 است، پس $3-n$ مثبت است ولی چون $n$ مثبت است، مخرج مثبت است. - وقتی $n \to 3^+$، یعنی $n$ کمی بیشتر از 3 است، پس $3-n$ منفی است و $n$ مثبت، پس مخرج منفی است. 5. صورت که برابر با 4 است، مثبت است. 6. بنابراین: - حد از چپ: $$\lim_{n \to 3^-} \frac{4}{\text{مخرج مثبت}} = +\infty$$ - حد از راست: $$\lim_{n \to 3^+} \frac{4}{\text{مخرج منفی}} = -\infty$$ 7. چون حد چپ و راست برابر نیستند، حد کلی وجود ندارد. نتیجه: حد $$\lim_{n \to 3} \frac{\sqrt{5n + 1}}{3n - n^2}$$ وجود ندارد.