1. مسئله: حد $$\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{7x+3} - \sqrt{7x+4}}{1 + \sqrt{x}}$$ را بیابید. 2. ابتدا بررسی می‌کنیم که آیا جایگذاری مستقیم ممکن است: \(x = -1\) را جایگذاری می‌کنیم: صورت: \(\sqrt{7(-1)+3} - \sqrt{7(-1)+4} = \sqrt{-7+3} - \sqrt{-7+4} = \sqrt{-4} - \sqrt{-3}\) که عدد موهومی است، پس جایگذاری مستقیم ممکن نیست. مخرج: \(1 + \sqrt{-1} = 1 + i\) که عدد موهومی است. 3. چون حد در دامنه اعداد حقیقی تعریف نشده است، باید بررسی کنیم آیا حد از راست یا چپ وجود دارد یا خیر. 4. دامنه تابع صورت: \(7x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{7} \approx -0.4286\) \(7x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{4}{7} \approx -0.5714\) دامنه صورت تابع برای مقادیر بزرگتر از \(-0.4286\) است. 5. دامنه مخرج: \(\sqrt{x}\) تعریف شده برای \(x \geq 0\) 6. چون حد به سمت \(x \to -1\) است که خارج از دامنه مخرج است، حد در اعداد حقیقی وجود ندارد. 7. بنابراین حد در اعداد حقیقی تعریف نشده و مقدار مشخصی ندارد. 8. اما اگر فرض کنیم اشتباهی در صورت سوال است و مخرج به صورت \(1 + \sqrt{7x+4}\) باشد، می‌توانیم حد را محاسبه کنیم: \(\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{7x+3} - \sqrt{7x+4}}{1 + \sqrt{7x+4}}\) برای محاسبه حد، صورت را با مخرج مزدوج ضرب می‌کنیم: \[ \frac{\sqrt{7x+3} - \sqrt{7x+4}}{1 + \sqrt{7x+4}} \times \frac{1 - \sqrt{7x+4}}{1 - \sqrt{7x+4}} = \frac{(\sqrt{7x+3} - \sqrt{7x+4})(1 - \sqrt{7x+4})}{1 - (7x+4)} \] صورت را باز می‌کنیم: \[ (\sqrt{7x+3} - \sqrt{7x+4})(1 - \sqrt{7x+4}) = \sqrt{7x+3} - \sqrt{7x+3}\sqrt{7x+4} - \sqrt{7x+4} + 7x + 4 \] مخرج: \(1 - 7x - 4 = -7x - 3\) جایگذاری \(x = -1\): صورت: \(\sqrt{-4} - \sqrt{-4}\sqrt{-3} - \sqrt{-3} + (-7) + 4\) که باز هم اعداد موهومی است. 9. نتیجه: حد در اعداد حقیقی وجود ندارد. پاسخ: هیچکدام از گزینه‌ها صحیح نیستند یا حد وجود ندارد. "slug": "limit-root", "subject": "calculus", "desmos": {"latex": "y=\frac{\sqrt{7x+3} - \sqrt{7x+4}}{1 + \sqrt{x}}","features": {"intercepts": true,"extrema": true}}, "q_count": 1